The area of asymptotic stability of nonlinear oscillations of the pendulum is plotted
pendulum, nonlinear oscillations, stability
Уравнение, описывающее нелинейные колебания маятника в сопротивляющейся среде, используется для изучения движения маятника под действием сил сопротивления, например, силы вязкого трения. Это уравнение применяется в разных областях физики, так как многие задачи приводятся к дифференциальному уравнению, описывающему движение маятника (рис. 1).
Уравнение нелинейных колебаний маятника в сопротивляющейся среде имеет вид
|
|
где 
– угловая координата, 
– положительные постоянные. Отсюда получаем систему
|
(1) |
|
|
|
В работе [1] исследуется устойчивость состояния равновесия системы (1): |
С помощью критерия Гурвица доказывается, что положение равновесия асимптотически устойчиво при любых положительных значениях коэффициентов.
Положим 
, 
. Тогда система (1) примет вид
|
(2) |
|
|
Возьмем в качестве функции Ляпунова квадратичную форму
|
|
производная которой в силу системы (2) имеет вид
|
|
(3) |
Чтобы найти границы области асимптотической устойчивости положения равновесия, определим условия смены знака производной. Для этого приравняем производную нулю. В результате получим два уравнения
|
|
(4) |
|
|
|
(5) |
|
Подставим значение уравнения (4) в уравнение (5), получим трансцендентное уравнение
|
|
(6) |
Решая уравнение (6) методом подбора параметра в EXCEL, найдем
Подставляя 
, 
в функцию Ляпунова, найдем ее значение в этой точке
|
|
Замкнутый контур
|
|
ограничивает область асимптотической устойчивости (рис. 2). Внутри этой области производная функции Ляпунова отрицательна. Следовательно, по теореме Ляпунова, положение равновесия асимптотически устойчиво.
|
Рисунок 1 – Маятник |
Рисунок 2 – Область устойчивости |
1. B.P. Demidovich. Lekcii po matematicheskoy teorii ustoychivosti. M.: Nauka. – 1967 g. – 472 s.
