Нечеткие множества играют важную роль в задачах принятия решений и анализа данных. Определение ранжирования нечетких чисел является неизбежным шагом во многих математических моделях [1]. Транспортная задача является частным случаем задач прикладной математики линейного программирования, которая позволяет определить оптимальную схему распределения потоков между грузообразующими и грузопоглащающими пунктами. Решение задачи позволяет определить общее количество груза, которое будет перевезено от грузоотправителя в определенный пункт назначения. В результате получается оптимальное решение, которое включает в себя минимальные временные затраты и максимальную полученную прибыль [2-4]. Задача нечеткой транспортировки является прогрессивным методом в том понимании, что данные о расходах на транспортировку, значение спроса и предложения могут быть заданы в виде нечетких величин. Впервые концепция нечеткого множества была введена Лотфи Заде в 1965 г.  [1]. В 2021 году авторами [5] была исследована двухэтапная задача нечеткой транспортировки, минимизирующая затраты, где спрос и предложение являются нечеткими числами, используя подход нечеткого решения. Предлагаемый алгоритм ранжирования заключается в поиске оптимального решения с использованием нечетких транспортных задач, учитывающих спрос, предложение и стоимость транспортировки в виде пятиугольных нечетких чисел.Общая формулировка транспортной задачи может быть представлена следующим образом: значение ai  – определяется как количество груза, доступное у i-ого грузоотправителя; bi  – количество груза, необходимое в j-ом пункте назначения. Показатель aij  рассматривается как стоимость транспортировки груза от i-ого отправителя к конечному потребителю j, а Xij  количество перевозимого груза [6]. Для упрощенного ранжирования нечетких пятиугольных чисел вводится значение A  – это нечеткое множество, которое определяется как набор упорядоченных пар:A=x0,μAx0/x0∈AμAx0→0,1 где μAx0  – функция принадлежности.Кроме того, A  – это нечеткое множество на области допустимых значений R, ограниченное условиями, приведенными ниже:μAx0  является непрерывным множеством;существует по крайней мере одно значение, удовлетворяющее условию: x0∈R  с μAx0=1 ;A  является правильным и выпуклым распределением (рисунок 1) [7]. Рисунок 1 – Схема построения задачи с помощью пятиугольных нечётких чисел [7] Метод ранжирования для решения транспортной задачи с помощью пятиугольных нечетких чисел можно описать математическим выражением:μAx=0,   x<a1u1~x-a2a3-a2,      a1≤x≤a21-1-u1~x-a2a3-a2,  a2≤x≤a31,         x=a31-1-u2~a4-xa4-a3,  a3≤x≤a4u2~a5-xa5-a4,  a4≤x≤a50,     x>a5 Средняя точка a3  имеет степень принадлежности, соответственно оценки имеют a4  и a2 . Каждое пятиугольное нечеткое число связано с двумя весами u1,  u2 .Математическая формулировка пятиугольных нечетких чисел в случае, когда предложение эквивалентно спросу, приведена как:Z=i=1sj=1taijxij с учетом ограничений:j=1txij=ai   j=1,2,…t i=1txij=ai   i=1,2,…s i=1sai=j=1tbj   i=1,2,…s, j=1,2,…t xij≥0, i=1,2,…s, j=1,2,…t Пусть aA=(a1,a2,a3,a4,a5)  это пятиугольные нечеткие числа с использованием метода центроидного ранжирования:RaA=a52+a42+a5a4-a22-a12-a2a13.a5+a4-a2-a1 Таким образом, метод ранжирования для решения транспортной задачи с помощью пятиугольных нечетких чисел можно описать поэтапно.Шаг 1. Проверяется транспортная задача на сбалансированность:i=1sai=j=1tbj Если модель не сбалансирована, то вводится дополнительный пункт назначения, используя нулевые расходы на транспортировку нечетких элементов.Шаг 2. Значение ранжирования присваивается для преобразования как спроса, так и предложения.Шаг 3. Кратное по строкам между наибольшим и наименьшим значениями каждой строки делится на кратное по строкам и столбцам матрицы затрат.Шаг 4. Кратное по столбцам между наибольшим и наименьшим значениями каждого столбца делится на кратное строк и столбцов матрицы затрат.Шаг 5. Находится максимум результирующего значения и выделяется конкретная ячейка данной матрицы. Если есть более одного максимального результирующего значения, выбирается любое.Шаг 6. Выполнять третий, четвертый и пятый шаг, пока не будут распределены группы (s+t-1) . Если выделенная ячейка не достигнута, применяется метод МОДИ для поиска оптимальности.Рассмотрим числовой пример решения транспортной задачи в условиях нечетких данных, которая включает в себя стоимость транспортировки, объемы производства и потребления. Исходные данные задачи с использованием нечеткого множества пятиугольного вида приведены в таблице 1. Используя метод ранжирования, необходимо преобразовать нечеткие данные в четкие значения (таблица 2).  Таблица 1  – Исходные данные задачи с использованием нечеткого множества Ra Rb Rc Rd Объём производства, тIa (2,4,6,8,9)(3,5,7,8,9)(2,4,5,6,7)(3,4,6,7,12)30Ib (0,2,5,6,8)(4,5,6,8,11)(2,3,5,7,11)(1,5,6,9,11)27Ic (1,2,3,4,5)(2,3,4,6,8)(4,5,6,8,9)(6,7,8,9,13)40Id (3,5,6,7,8)(1,5,6,7,8)(2,7,8,9,10)(3,3,4,5,9)50Объём потребления, т20383455  Таблица 2  – Матрица затрат Ra Rb Rc Rd Объём производства, тIa 5,72726,22224,71436,666730Ib 4,00007,06675,69706,428627Ic 3,11114,77786,50008,888940Id 5,71435,11116,80005,166750Объём потребления, т20383455  Таблица 3 – Опорный план Ra Rb Rc Rd Объёмпроизводства, тmin∙maxряд∙столбец Ia 5,72726,22224,71436,6667301,964Ib 4,00007,06675,69706,4286271,766Ic 3,11114,77786,50008,8889401,728Id 5,71435,11116,80005,1667502,172Объёмпотребления, т20383455  min∙maxряд∙столбец 1,11352,1102,0032,871    Таблица 4 – Оптимальный план перевозок Ra Rb Rc Rd Объём производства, тIa 5,72726,2222304,71436,666730Ib 184,00007,066745,697056,428627Ic 23,1111384,77786,50008,888940Id 5,71435,11116,8000505,166750Объёмпотребления, т20383455   Данная задача является сбалансированной. Выбераем максимальное из значений штрафных санкций (значение 2,871 в таблице 3 опорного плана), находим соответствующее минимальное значение затрат (5,1667), выделяем конкретную ячейку затрат для данной задачи (таблица 3). Одна и та же процедура будет выполняться снова и снова, пока не будет достигнуто окончательное распределение. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7,  должно быть s + t – 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным. Общие затраты на транспортировку определим как:min Z = 18 · 4,0000 + 2 · 3,1111 + 4 · 5,6970 ++ 50 · 5,1667 + 5 · 6,4286 + 38 · 4,7778 + 30 ×× 4,7143 = 714,4736 Таким образом, полученное решение транспортной задачи является оптимальным, поскольку другие методы решения дают аналогичное распределение. Предложенный метод представляет собой упорядоченный алгоритм, который прост в применении и пригоден для решения всех типов транспортных задач с нечеткими данными либо по критерию стоимости (план перевозок является оптимальным, если достигается минимум затрат на его реализацию), либо по критерию времени (план перевозок оптимален, если на него затрачивается минимальное количество времени). Подход может быть расширен с помощью дополнительного нечеткого алгоритма. Транспортные задачи являются важным средством решения многих экономических проблем, возникающих на предприятии. С их помощью возможно не только рациональное планирование маршрутов перевозки, но и устранение дублирующих грузопотоков, что ведет к быстрой доставке товаров, а также сокращаются затраты на горюче-смазочные материалы, ремонт и обслуживание подвижного состава, и в конечном итоге наблюдается снижение транспортных издержек [8-10].Нечеткие множества играют важную роль в задачах принятия решений и анализа данных. Определение ранжирования нечетких чисел является неизбежным шагом во многих математических моделях [1]. Транспортная задача является частным случаем задач прикладной математики линейного программирования, которая позволяет определить оптимальную схему распределения потоков между грузообразующими и грузопоглащающими пунктами. Решение задачи позволяет определить общее количество груза, которое будет перевезено от грузоотправителя в определенный пункт назначения. В результате получается оптимальное решение, которое включает в себя минимальные временные затраты и максимальную полученную прибыль [2-4]. Задача нечеткой транспортировки является прогрессивным методом в том понимании, что данные о расходах на транспортировку, значение спроса и предложения могут быть заданы в виде нечетких величин. Впервые концепция нечеткого множества была введена Лотфи Заде в 1965 г.  [1]. В 2021 году авторами [5] была исследована двухэтапная задача нечеткой транспортировки, минимизирующая затраты, где спрос и предложение являются нечеткими числами, используя подход нечеткого решения. Предлагаемый алгоритм ранжирования заключается в поиске оптимального решения с использованием нечетких транспортных задач, учитывающих спрос, предложение и стоимость транспортировки в виде пятиугольных нечетких чисел.Общая формулировка транспортной задачи может быть представлена следующим образом: значение ai  – определяется как количество груза, доступное у i-ого грузоотправителя; bi  – количество груза, необходимое в j-ом пункте назначения. Показатель aij  рассматривается как стоимость транспортировки груза от i-ого отправителя к конечному потребителю j, а Xij  количество перевозимого груза [6]. Для упрощенного ранжирования нечетких пятиугольных чисел вводится значение A  – это нечеткое множество, которое определяется как набор упорядоченных пар:A=x0,μAx0/x0∈AμAx0→0,1 где μAx0  – функция принадлежности.Кроме того, A  – это нечеткое множество на области допустимых значений R, ограниченное условиями, приведенными ниже:μAx0  является непрерывным множеством;существует по крайней мере одно значение, удовлетворяющее условию: x0∈R  с μAx0=1 ;A  является правильным и выпуклым распределением (рисунок 1) [7]. Рисунок 1 – Схема построения задачи с помощью пятиугольных нечётких чисел [7] Метод ранжирования для решения транспортной задачи с помощью пятиугольных нечетких чисел можно описать математическим выражением:μAx=0,   x<a1u1~x-a2a3-a2,      a1≤x≤a21-1-u1~x-a2a3-a2,  a2≤x≤a31,         x=a31-1-u2~a4-xa4-a3,  a3≤x≤a4u2~a5-xa5-a4,  a4≤x≤a50,     x>a5 Средняя точка a3  имеет степень принадлежности, соответственно оценки имеют a4  и a2 . Каждое пятиугольное нечеткое число связано с двумя весами u1,  u2 .Математическая формулировка пятиугольных нечетких чисел в случае, когда предложение эквивалентно спросу, приведена как:Z=i=1sj=1taijxij с учетом ограничений:j=1txij=ai   j=1,2,…t i=1txij=ai   i=1,2,…s i=1sai=j=1tbj   i=1,2,…s, j=1,2,…t xij≥0, i=1,2,…s, j=1,2,…t Пусть aA=(a1,a2,a3,a4,a5)  это пятиугольные нечеткие числа с использованием метода центроидного ранжирования:RaA=a52+a42+a5a4-a22-a12-a2a13.a5+a4-a2-a1 Таким образом, метод ранжирования для решения транспортной задачи с помощью пятиугольных нечетких чисел можно описать поэтапно.Шаг 1. Проверяется транспортная задача на сбалансированность:i=1sai=j=1tbj Если модель не сбалансирована, то вводится дополнительный пункт назначения, используя нулевые расходы на транспортировку нечетких элементов.Шаг 2. Значение ранжирования присваивается для преобразования как спроса, так и предложения.Шаг 3. Кратное по строкам между наибольшим и наименьшим значениями каждой строки делится на кратное по строкам и столбцам матрицы затрат.Шаг 4. Кратное по столбцам между наибольшим и наименьшим значениями каждого столбца делится на кратное строк и столбцов матрицы затрат.Шаг 5. Находится максимум результирующего значения и выделяется конкретная ячейка данной матрицы. Если есть более одного максимального результирующего значения, выбирается любое.Шаг 6. Выполнять третий, четвертый и пятый шаг, пока не будут распределены группы (s+t-1) . Если выделенная ячейка не достигнута, применяется метод МОДИ для поиска оптимальности.Рассмотрим числовой пример решения транспортной задачи в условиях нечетких данных, которая включает в себя стоимость транспортировки, объемы производства и потребления. Исходные данные задачи с использованием нечеткого множества пятиугольного вида приведены в таблице 1. Используя метод ранжирования, необходимо преобразовать нечеткие данные в четкие значения (таблица 2).  Таблица 1  – Исходные данные задачи с использованием нечеткого множества Ra Rb Rc Rd Объём производства, тIa (2,4,6,8,9)(3,5,7,8,9)(2,4,5,6,7)(3,4,6,7,12)30Ib (0,2,5,6,8)(4,5,6,8,11)(2,3,5,7,11)(1,5,6,9,11)27Ic (1,2,3,4,5)(2,3,4,6,8)(4,5,6,8,9)(6,7,8,9,13)40Id (3,5,6,7,8)(1,5,6,7,8)(2,7,8,9,10)(3,3,4,5,9)50Объём потребления, т20383455  Таблица 2  – Матрица затрат Ra Rb Rc Rd Объём производства, тIa 5,72726,22224,71436,666730Ib 4,00007,06675,69706,428627Ic 3,11114,77786,50008,888940Id 5,71435,11116,80005,166750Объём потребления, т20383455  Таблица 3 – Опорный план Ra Rb Rc Rd Объёмпроизводства, тmin∙maxряд∙столбец Ia 5,72726,22224,71436,6667301,964Ib 4,00007,06675,69706,4286271,766Ic 3,11114,77786,50008,8889401,728Id 5,71435,11116,80005,1667502,172Объёмпотребления, т20383455  min∙maxряд∙столбец 1,11352,1102,0032,871    Таблица 4 – Оптимальный план перевозок Ra Rb Rc Rd Объём производства, тIa 5,72726,2222304,71436,666730Ib 184,00007,066745,697056,428627Ic 23,1111384,77786,50008,888940Id 5,71435,11116,8000505,166750Объёмпотребления, т20383455   Данная задача является сбалансированной. Выбераем максимальное из значений штрафных санкций (значение 2,871 в таблице 3 опорного плана), находим соответствующее минимальное значение затрат (5,1667), выделяем конкретную ячейку затрат для данной задачи (таблица 3). Одна и та же процедура будет выполняться снова и снова, пока не будет достигнуто окончательное распределение. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7,  должно быть s + t – 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным. Общие затраты на транспортировку определим как:min Z = 18 · 4,0000 + 2 · 3,1111 + 4 · 5,6970 ++ 50 · 5,1667 + 5 · 6,4286 + 38 · 4,7778 + 30 ×× 4,7143 = 714,4736 Таким образом, полученное решение транспортной задачи является оптимальным, поскольку другие методы решения дают аналогичное распределение. Предложенный метод представляет собой упорядоченный алгоритм, который прост в применении и пригоден для решения всех типов транспортных задач с нечеткими данными либо по критерию стоимости (план перевозок является оптимальным, если достигается минимум затрат на его реализацию), либо по критерию времени (план перевозок оптимален, если на него затрачивается минимальное количество времени). Подход может быть расширен с помощью дополнительного нечеткого алгоритма. Транспортные задачи являются важным средством решения многих экономических проблем, возникающих на предприятии. С их помощью возможно не только рациональное планирование маршрутов перевозки, но и устранение дублирующих грузопотоков, что ведет к быстрой доставке товаров, а также сокращаются затраты на горюче-смазочные материалы, ремонт и обслуживание подвижного состава, и в конечном итоге наблюдается снижение транспортных издержек [8-10].