На предприятиях пищевой, химической и нефтехимической промышленности часто встречается задача нагрева или охлаждения жидкого сырья или продуктов переработки в емкостях, оснащенных «рубашками» с циркулирующим в них теплоносителем или хладоагентом. В больших емкостях как для нагрева, так и охлаждения содержимого до нужной температуры требуются значительные энергетические затраты. Поэтому управление тепловыми процессами часто является определяющим фактором в технико-экономических показателях производства.В данной работе поставлена и решена задача нагрева продукта до заданной температуры за наименьшее время. Рассмотрим емкость с мешалкой, оснащенную снаружи рубашкой, в которую непрерывно подается жидкий теплоноситель (рис. 1). Нагрев продукта до заданной температуры осуществляется после полной загрузки продукта в емкость, конвективные потоки продукта на входе и выходе емкости в процессе нагрева отсутствуют. Тепло-носитель Продукт  Рис.1. Схема потоков в емкости с рубашкой Передача тепла от теплоносителя продукту осуществляется через разделяющую емкость и рубашку поверхность. В рассматриваемой емкости установлено перемешивающее устройство, поэтому можно принять допущение, что в емкости отсутствует передача тепла теплопроводностью. Поскольку в рубашку непрерывно подается теплоноситель, имеются конвективные потоки теплоносителя на входе и выходе рубашки. Как и для емкости, примем допущение о том, что передача тепла в рубашке за счет теплопроводности незначительна. По этой причине и емкость, и рубашку емкости можно описать моделью для аппарата идеального смешения [1] (периодического – для емкости, непрерывного – для рубашки).Уравнения скорости изменения температуры в емкости  и рубашке  в виде уравнений Коши будут выглядеть следующим образом: (1)где  - коэффициент теплопередачи, кДж/(м2·0С·с);  – поверхность теплообмена, м2;  и  - объемы емкости и рубашки соответственно, м3;  и    - плотности продукта и теплоносителя, кг/м3;  и  – удельные теплоемкости продукта и теплоносителя, кДж/(кг·0С);  – температура теплоносителя на входе в рубашку, 0С;  – объемный расход теплоносителя в рубашку, м3/c.Для дальнейшего удобства представим систему уравнений (1) в следующем виде           (2)где  , , , .Зададим граничные условия для обеих переменных в начальный  и конечный  моменты времени: , , , .                  (3)Управляющим воздействием в задаче нагрева жидкого продукта в емкости с рубашкой является расход теплоносителя, подаваемого в рубашку.Функционал качества управления в задаче о быстродействии задается в виде                   (4)Укажем ограничение, налагаемое на расход теплоносителя в рубашку емкости                    (5)Требуется определить такой расход теплоносителя в рубашку , который обеспечивает перевод объекта в заданное состояние за минимальное время.Уравнения системы (2) являются линейными, поэтому принцип максимума Понтрягина будет и необходимым, и достаточным условием оптимальности для решения поставленной задачи [2].Составим гамильтониан для заданной задачи ,     (6)где - сопряженные функции к системе уравнений (2) и подынтегральному выражению в функционале (4).Рассматривая в гамильтониане только член, зависящий от искомого управление  и сопряженных функций, получим из выражения (6) .        (7)Чтобы гамильтониан (6) принимал максимальное значение, необходимо всякий раз, когда , соблюсти управление   и   в случае, когда  . Поскольку разница  всегда больше или равна нулю (в данной задаче температура теплоносителя в рубашке не может быть больше температуры теплоносителя на входе в рубашку), максимум гамильтониана  определяется знаком функции           (8)Закон управления (8) справедлив на всем интервале управления . Для нахождения оптимального управления, в том числе количество переключений управления между  и , необходимо определить выражение для сопряженной функции , при которой система уравнений (2) удовлетворяет граничным условиям (3).Сопряженные переменные определяются уравнениями   ,                 (9)и выглядят следующим образом     (10)Общее решение системы уравнений (10) имеет вид ,                     (11) ,                (12)   (13)где а  – постоянные интегрирования системы (10). Из выражения (13) видно, что функция  при любых значениях   и  не более одного раза меняет знак на отрезке времени . Это означает, что управление  состоит из не более двух интервалов управления с  и .Обыкновенно постоянные интегрирования в решении дифференциальных уравнений определяются из начальных условий, но начальные условия для сопряженных функций неизвестны. Неизвестны они и для конечных условий. Их роль выполняют начальные и конечные условия для температур. Поэтому, постоянные интегрирования для сопряженных функций найдем после определения  - времени функционирования объекта под воздействием управления . Для этого проинтегрируем уравнения системы (2).Очевидно, что в начальный момент времени при  объект функционирует под воздействием управления .Общее решение системы уравнений (2) с управляющим воздействием  выглядит следующим образом ,          (14) ,         (15)где  и  – функции температуры в емкости и рубашке в начальный момент времени,  – постоянные интегрирования системы (2) для начального момента времени, а значения  и  в выражениях (14) и (15) находятся как .Используя начальные условия при , определяем постоянные интегрирования: , .В конечный момент времени при  объект функционирует под воздействием управления , а общее решение системы уравнений (2) имеет вид ,                     (16) ,      (17)где  и  – функции температуры в емкости и рубашке в конечный момент времени ,  – постоянные интегрирования  системы (2) для конечного момента времени, а значение  в выражениях (16) и (17) находится как .Используя условия на конец управления при , определяем постоянные интегрирования: , .Время управления  и время смены управляющего воздействия  находятся из условия неразрывности решения в момент времени  (18)Руководствуясь условием теоремы принципа максимума Понтрягина, согласно которому на интервале управления  выполняется тождество из уравнений гамильтониана в начальный и конечный моменты времени определяются постоянные интегрирования ,  и искомое выражение для сопряженной функции  Приведем пример решения. В табл. 1 приведены конструктивные и теплофизические параметры объекта управления.  Таблица 1 - Параметры объекта управленияНаименованиеОбозначениеЕдиницы измеренияОбъем емкости м3Объем рубашки м3Поверхность теплообмена м2Коэффициент теплопередачи кДж/(м2·0С·с);Плотность продукта кг/м3Плотность греющей воды кг/м3Удельная теплоемкость продукта кДж/(кг·0С)Удельная теплоемкость греющей воды кДж/(кг·0С)Температура греющей воды на входе в рубашку 0СДопустимые границы изменения расхода греющей воды в рубашку м3/c   Граничные условия для переменных в начальный  и конечный  моменты времени: 0С, 0С, 0С, 0С.В начальный момент времени при  под воздействием управления в соответствии с (14), (15) объект описывается уравнениями , ,а в конечный момент времени при , при  решение системы уравнений (2) в соответствии с (16), (17) имеет вид , .Время смены управляющего воздействия составило секунд, время управления  – 777 секунд. Постоянные интегрирования сопряженных функций  и  найдены из уравнений равенства гамильтониана нулю в начальный и конечный моменты времени. Выражения для сопряженных функций выглядят следующим образом: , .Результаты решения задачи оптимального нагрева продукта в емкости приведены на рис.2 и 3.Из анализа графика на рис. 2 видно, что управление носит кусочно-непрерывный характер. Управляющее воздействие  принимает только свои граничные значения. Момент смены знака управляющего воздействия  на рис. 2 совпадает с моментом времени перехода функции через нуль на рис. 3. Условия принципа максимума выполнены. Наименьшее время перевода объекта из начального в конечное состояние составило 777 секунд. Объем затраченного теплоносителя составил 5,99 м3.    Рисунок 2 - Динамические характеристики и закон управления  Рисунок 3 - График сопряженной функции