Рассмотрим тяжелую однородную нерастяжимую нить, длиной l, закрепленную в точках A и B (рисунок 1).Рисунок 1 – Цепная линияУравнения движения нити в декартовых координатах имеют вид [1] ∂2x∂t2=∂∂sT ∂x∂s(1)∂2y∂t2=∂∂sT ∂y∂s-q где t – время, s  – дуговая координата нити, T – натяжение, g – вес единицы длины нити.            В каждой точке нити выполняется условие нерастяжимости ∂x∂s2+∂y∂s2=1(2)В положении равновесия производные по времени равны нулю∂∂sT ∂x∂s=0(3)∂∂sT ∂y∂s-q=0Система (3)  вместе с условием (2) допускает частное решение, соответствующее положению равновесия, в котором нить располагается по цепной линииx0=a Arcsh 2s-l2a y0=a ch x0a-1(4)T0=H ch x0a   где a=Hg, H – положительная постоянная.Рассмотрим отклонения от положения равновесияxs,t=x0+us,t ys,t=y0+vs,t(5)Ts,t=T0+τs,t Подставим формулы (5) в систему (1). В результате получим систему уравнений возмущенного движения∂2u∂t2=∂∂sT0∂u∂s+∂∂sτ∂∂sx0+us,t(6)∂2v∂t2=+∂∂sT0∂v∂s+∂∂sτ∂∂sy0+vs,tУмножим первое уравнение системы (6) на  ∂u∂t, второе – на ∂v∂t,  проинтегрируем каждое уравнение по  s  от 0 до l  и сложим их. После преобразований, с учетом условия (2), получим первый интегралV=0l12∂u∂t2+12∂v∂t2+T02∂u∂s2+T02∂v∂s2ds=const(7)Этот интеграл определенно положителен и непрерывен по мереρ=0l∂u∂t2+∂v∂t2+∂u∂s2+∂v∂s2ds(8)На основании теоремы об устойчивости по одной мере [2] приходим к выводу, что положение равновесия (4) устойчиво по мере ρ.