Кривые второго порядка были известны еще в древней Греции и назывались «коническими сечениями». Применение изученных греками кривых нашло применение в XVII-XIII в. баллистике и астрономии. После введения понятия космических скоростей оказалось, что тело, запущенное с различной скоростью, может двигаться в пространстве по различным траекториям, представляющим кривые второго порядка: эллипс, гиперболу и параболу. В XX веке физические эксперименты показали, что и частицы двигаются по траекториям, являющимися кривыми второго порядка. Основной задачей, связанной с изучением кривых второго порядка и их приложений, является приведение общего уравнения кривой                                                                               (1)к каноническому виду. Уравнение (1) в зависимости от числовых значений коэффициентов  и  в плоскости  определяет кривые трех типов: эллиптического, гиперболического и параболического.Задача упрощения состоит в том, чтобы в преобразованном уравнении были устранены:1) член, содержащий произведение текущих координат;2) члены, содержащие первые степени двух координат или, по крайней мере, одной из них.Для ее решения можно воспользоваться следующими приемами:1) использование квадратичной формы и метода приведения ее к каноническому виду;2) преобразование координат в общем уравнении по формулам:                                                                                                       (2)Используя первый прием, квадратичная форма  приводится к каноническому виду                                               .Собственные векторы  и задают новый ортогональный базис , где  и  будут получены геометрически путем поворота системы  на угол . Координаты орт вектора  совпадают с направляющими косинусами вектора в первоначальной системе координат:                                                                                                          (3)Выражение в уравнении (1) заменяют с помощью формул перехода к новой системе координат :                                                                                                                 (4)и полученное уравнение приводят к каноническому виду:                              (5)В случае упрощения общего уравнения кривой по формулам (2) добиваются того, чтобы в преобразованном уравнении был устранен член, содержащий произведение текущих координат. Угол поворота  выбирается таким образом, чтобы коэффициент при произведении  обратился в нуль. Полученное уравнение также приводят к каноническому виду (5).