Using dimensional analysis, a general criterion equation for the inertial rotational speed of a fan impeller was obtained
similarity theory, dimensional analysis, fan impeller, rotational inertia
Рассмотрим режим работы вентилятора по инерции вращения при выключенном питании. На основе метода анализа размерностей [1-3] получим общий вид критериального уравнения для процесса инерционного вращения лопастей вентилятора.
К параметрам, влияющим на линейную окружную скорость инерционного вращения лопастей вентилятора w, м/с, относятся: скорость лопастей в начале торможения (в момент выключения питания), w0, м/с; масса крыльчатки вентилятора m, кг; сила трения F, Н, кг·м/с2; время t, с.
Линейная окружная скорость вращения лопастей вентилятора – это скорость движения точек на окружности рабочего колеса, направленная по касательной в сторону вращения. Зависимость для скорости инерционного вращения лопастей вентилятора имеет вид:
. (1)
Первичными единицами измерения в процессе инерционного вращения вентилятора являются: килограммы (единица измерения массы [М]), метры (единица измерения длины [L]), секунды (единица измерения времени [T]).
Представим единицу измерения линейной окружной скорости инерционного движения через первичные единицы измерения:
, (2)
Аналогично запишем для остальных параметров процесса:
, (3)
, (4)
, (5)
. (6)
Внесем сведения о размерности величин в таблицу 1.
Таблица 1
Размерности величин критериального уравнения
|
Величина |
Размерность |
Формула размерности |
Показатели степени |
||
|
[L] |
[M] |
[T] |
|||
|
w |
м/c |
|
1 |
0 |
-1 |
|
w0 |
м/c |
|
1 |
0 |
-1 |
|
m |
кг |
|
0 |
1 |
0 |
|
F |
кг·м/с2 |
|
1 |
1 |
-2 |
|
t |
с |
|
0 |
0 |
1 |
Примем за основные величины w0, F, t. Число основных величин, как правило, равняется числу первичных (основных) единиц измерения: кг, с, м.
Из уравнений (3, 5, 6) для единиц измерения w0, F, t составим систему уравнений:
, (7)
прологарифмируем:
. (8)
Система уравнений (8) будет справедлива (т.е. будет иметь единственное решение), если составленный из коэффициентов уравнения определитель матрицы отличен от нуля.
По методу треугольника вычислим определитель матрицы, составленной по данным таблицы 1 для величин w0, F, t:
(9)
Как видно из (9), определитель матрицы не равен нулю, следовательно, основные величины w0, F, t выбраны верно.
Число переменных величин (параметров процесса) равно n=5. Количество первичных (основных) единиц измерения равно k=3. В соответствии с теоремой подобия число критериев подобия, описывающих инерцию вращения, равно n-k=2.
Критерий подобия получается делением оставшихся величин (w, m) на произведение основных величин (w0, F, t), возведенных в степени.
Критерии подобия будут иметь вид:
, (10)
. (11)
Представим зависимость (1) в виде, отражающем связь между безразмерными критериями:
, (12)
или
.
Левая часть уравнения (12) – безразмерная величина, следовательно, справедливо выражение:
, (13)
или
. (14)
Тогда:
. (15)
Равенство (15) выполняется, если:
, (16)
откуда:
, 
, 
.
Критерий подобия (10) примет вид:
.
Правая часть уравнения (12) – безразмерная величина, следовательно, справедливо выражение:
, (17)
или
. (18)
Тогда:
. (19)
Равенство (19) выполняется, если:
, (20)
откуда:
, 
, 
.
Критерий подобия (11) примет вид:
. (21)
Умножим числитель и знаменатель правой части выражения (21) на w0, получим:
, (22)
где l=w0·t – путь лопастей.
Критерий подобия (22) запишем в виде:
, (23)
где Ne – критерий Ньютона.
Зависимость между безразмерными критериями подобия принимает вид:
, (24)
. (25)
Значения коэффициента С и показателя степени a определяются по результатам экспериментального исследования.
1. Arhipov V.A., Konovalenko A.I. Praktikum po teorii podobiya i analizu razmernostey. Uchebno-metodicheskoe posobie. Tomsk: TGU, 2016. 93 s.
2. Batuner L.M., Pozin M.E. Matematicheskie metody v himicheskoy tehnike. L.: Himiya, 1968. 824 s.
3. Bal'chugov A.V., Badenikov A.V. Osnovy nauchnyh issledovaniy, organizaciya i planirovanie eksperimenta. Uchebnoe posobie. Moskva, Vologda: Infra-Inzheneriya, 2026. – 188 s.
