Нечеткие множества играют важную роль в задачах принятия решений и анализа данных. Определение ранжирования нечетких чисел является неизбежным шагом во многих математических моделях [1]. Транспортная задача является частным случаем задач прикладной математики линейного программирования, которая позволяет определить оптимальную схему распределения потоков между грузообразующими и грузопоглащающими пунктами. Решение задачи позволяет определить общее количество груза, которое будет перевезено от грузоотправителя в определенный пункт назначения. В результате получается оптимальное решение, которое включает в себя минимальные временные затраты и максимальную полученную прибыль [2-4]. Задача нечеткой транспортировки является прогрессивным методом в том понимании, что данные о расходах на транспортировку, значение спроса и предложения могут быть заданы в виде нечетких величин. Впервые концепция нечеткого множества была введена Лотфи Заде в 1965 г.  [1]. В 2021 году авторами [5] была исследована двухэтапная задача нечеткой транспортировки, минимизирующая затраты, где спрос и предложение являются нечеткими числами, используя подход нечеткого решения. Предлагаемый алгоритм ранжирования заключается в поиске оптимального решения с использованием нечетких транспортных задач, учитывающих спрос, предложение и стоимость транспортировки в виде пятиугольных нечетких чисел.

Общая формулировка транспортной задачи может быть представлена следующим образом: значение ai  – определяется как количество груза, доступное у i-ого грузоотправителя; bi  – количество груза, необходимое в j-ом пункте назначения. Показатель aij  рассматривается как стоимость транспортировки груза от i-ого отправителя к конечному потребителю j, а Xij  количество перевозимого груза [6]. Для упрощенного ранжирования нечетких пятиугольных чисел вводится значение A  – это нечеткое множество, которое определяется как набор упорядоченных пар:

A=x0,μAx0/x0∈AμAx0→0,1

где μAx0  – функция принадлежности.

Кроме того, A  – это нечеткое множество на области допустимых значений R, ограниченное условиями, приведенными ниже:

• μAx0  является непрерывным множеством;
• существует по крайней мере одно значение, удовлетворяющее условию: x0∈R  с μAx0=1 ;
• A  является правильным и выпуклым распределением (рисунок 1) [7].

Рисунок 1 – Схема построения задачи с помощью пятиугольных нечётких чисел [7]

Метод ранжирования для решения транспортной задачи с помощью пятиугольных нечетких чисел можно описать математическим выражением:

μAx=0,   x<a1u1~x-a2a3-a2,      a1≤x≤a21-1-u1~x-a2a3-a2,  a2≤x≤a31,         x=a31-1-u2~a4-xa4-a3,  a3≤x≤a4u2~a5-xa5-a4,  a4≤x≤a50,     x>a5

Средняя точка a3  имеет степень принадлежности, соответственно оценки имеют a4  и a2 . Каждое пятиугольное нечеткое число связано с двумя весами u1,  u2 .

Математическая формулировка пятиугольных нечетких чисел в случае, когда предложение эквивалентно спросу, приведена как:

Z=i=1sj=1taijxij

с учетом ограничений:

j=1txij=ai   j=1,2,…t

i=1txij=ai   i=1,2,…s

i=1sai=j=1tbj   i=1,2,…s, j=1,2,…t

xij≥0, i=1,2,…s, j=1,2,…t

Пусть aA=(a1,a2,a3,a4,a5)  это пятиугольные нечеткие числа с использованием метода центроидного ранжирования:

RaA=a52+a42+a5a4-a22-a12-a2a13.a5+a4-a2-a1

Таким образом, метод ранжирования для решения транспортной задачи с помощью пятиугольных нечетких чисел можно описать поэтапно.

Шаг 1. Проверяется транспортная задача на сбалансированность:

i=1sai=j=1tbj

Если модель не сбалансирована, то вводится дополнительный пункт назначения, используя нулевые расходы на транспортировку нечетких элементов.

Шаг 2. Значение ранжирования присваивается для преобразования как спроса, так и предложения.

Шаг 3. Кратное по строкам между наибольшим и наименьшим значениями каждой строки делится на кратное по строкам и столбцам матрицы затрат.

Шаг 4. Кратное по столбцам между наибольшим и наименьшим значениями каждого столбца делится на кратное строк и столбцов матрицы затрат.

Шаг 5. Находится максимум результирующего значения и выделяется конкретная ячейка данной матрицы. Если есть более одного максимального результирующего значения, выбирается любое.

Шаг 6. Выполнять третий, четвертый и пятый шаг, пока не будут распределены группы (s+t-1) . Если выделенная ячейка не достигнута, применяется метод МОДИ для поиска оптимальности.

Рассмотрим числовой пример решения транспортной задачи в условиях нечетких данных, которая включает в себя стоимость транспортировки, объемы производства и потребления. Исходные данные задачи с использованием нечеткого множества пятиугольного вида приведены в таблице 1. Используя метод ранжирования, необходимо преобразовать нечеткие данные в четкие значения (таблица 2).

Таблица 1  – Исходные данные задачи с использованием нечеткого множества

Таблица 2  – Матрица затрат

Таблица 3 – Опорный план

Таблица 4 – Оптимальный план перевозок

Нечеткие множества играют важную роль в задачах принятия решений и анализа данных. Определение ранжирования нечетких чисел является неизбежным шагом во многих математических моделях [1]. Транспортная задача является частным случаем задач прикладной математики линейного программирования, которая позволяет определить оптимальную схему распределения потоков между грузообразующими и грузопоглащающими пунктами. Решение задачи позволяет определить общее количество груза, которое будет перевезено от грузоотправителя в определенный пункт назначения. В результате получается оптимальное решение, которое включает в себя минимальные временные затраты и максимальную полученную прибыль [2-4]. Задача нечеткой транспортировки является прогрессивным методом в том понимании, что данные о расходах на транспортировку, значение спроса и предложения могут быть заданы в виде нечетких величин. Впервые концепция нечеткого множества была введена Лотфи Заде в 1965 г.  [1]. В 2021 году авторами [5] была исследована двухэтапная задача нечеткой транспортировки, минимизирующая затраты, где спрос и предложение являются нечеткими числами, используя подход нечеткого решения. Предлагаемый алгоритм ранжирования заключается в поиске оптимального решения с использованием нечетких транспортных задач, учитывающих спрос, предложение и стоимость транспортировки в виде пятиугольных нечетких чисел.

Общая формулировка транспортной задачи может быть представлена следующим образом: значение ai  – определяется как количество груза, доступное у i-ого грузоотправителя; bi  – количество груза, необходимое в j-ом пункте назначения. Показатель aij  рассматривается как стоимость транспортировки груза от i-ого отправителя к конечному потребителю j, а Xij  количество перевозимого груза [6]. Для упрощенного ранжирования нечетких пятиугольных чисел вводится значение A  – это нечеткое множество, которое определяется как набор упорядоченных пар:

A=x0,μAx0/x0∈AμAx0→0,1

где μAx0  – функция принадлежности.

Кроме того, A  – это нечеткое множество на области допустимых значений R, ограниченное условиями, приведенными ниже:

• μAx0  является непрерывным множеством;
• существует по крайней мере одно значение, удовлетворяющее условию: x0∈R  с μAx0=1 ;
• A  является правильным и выпуклым распределением (рисунок 1) [7].

Рисунок 1 – Схема построения задачи с помощью пятиугольных нечётких чисел [7]

Метод ранжирования для решения транспортной задачи с помощью пятиугольных нечетких чисел можно описать математическим выражением:

μAx=0,   x<a1u1~x-a2a3-a2,      a1≤x≤a21-1-u1~x-a2a3-a2,  a2≤x≤a31,         x=a31-1-u2~a4-xa4-a3,  a3≤x≤a4u2~a5-xa5-a4,  a4≤x≤a50,     x>a5

Средняя точка a3  имеет степень принадлежности, соответственно оценки имеют a4  и a2 . Каждое пятиугольное нечеткое число связано с двумя весами u1,  u2 .

Математическая формулировка пятиугольных нечетких чисел в случае, когда предложение эквивалентно спросу, приведена как:

Z=i=1sj=1taijxij

с учетом ограничений:

j=1txij=ai   j=1,2,…t

i=1txij=ai   i=1,2,…s

i=1sai=j=1tbj   i=1,2,…s, j=1,2,…t

xij≥0, i=1,2,…s, j=1,2,…t

Пусть aA=(a1,a2,a3,a4,a5)  это пятиугольные нечеткие числа с использованием метода центроидного ранжирования:

RaA=a52+a42+a5a4-a22-a12-a2a13.a5+a4-a2-a1

Таким образом, метод ранжирования для решения транспортной задачи с помощью пятиугольных нечетких чисел можно описать поэтапно.

Шаг 1. Проверяется транспортная задача на сбалансированность:

i=1sai=j=1tbj

Если модель не сбалансирована, то вводится дополнительный пункт назначения, используя нулевые расходы на транспортировку нечетких элементов.

Шаг 2. Значение ранжирования присваивается для преобразования как спроса, так и предложения.

Шаг 3. Кратное по строкам между наибольшим и наименьшим значениями каждой строки делится на кратное по строкам и столбцам матрицы затрат.

Шаг 4. Кратное по столбцам между наибольшим и наименьшим значениями каждого столбца делится на кратное строк и столбцов матрицы затрат.

Шаг 5. Находится максимум результирующего значения и выделяется конкретная ячейка данной матрицы. Если есть более одного максимального результирующего значения, выбирается любое.

Шаг 6. Выполнять третий, четвертый и пятый шаг, пока не будут распределены группы (s+t-1) . Если выделенная ячейка не достигнута, применяется метод МОДИ для поиска оптимальности.

Рассмотрим числовой пример решения транспортной задачи в условиях нечетких данных, которая включает в себя стоимость транспортировки, объемы производства и потребления. Исходные данные задачи с использованием нечеткого множества пятиугольного вида приведены в таблице 1. Используя метод ранжирования, необходимо преобразовать нечеткие данные в четкие значения (таблица 2).

Таблица 1  – Исходные данные задачи с использованием нечеткого множества