Рассмотрено применение инструментов системы компьютерной алгебры Maxima для решения задач в области автоматического управления. Рассмотрен способ упрощения вывода передаточной функции системы автоматического управления на основе её структурной схемы. Также рассмотрен способ упрощения вывода аналитических выражений АЧХ, ФЧХ и АФХ из передаточной функции
автоматическое управление, структурная схема, система компьютерной алгебры, частотные характеристики, передаточная функция
В настоящее время огромное количество технологических процессов выполняется без участия человека, то есть в автоматическом режиме. Изучению процессов автоматического управления объектами разной физической природы посвящена научная дисциплина, называемая «Теория автоматического управления» или сокращённо ТАУ.
При проектировании систем управления, используя приёмы и методы, широко применяемые в ТАУ, часто возникают задачи, которые требуют упрощения громоздких выражений или разделения сложных комплексных выражений на вещественную и мнимую части. Ручное выполнение подобных операций трудозатратно и занимает много времени. К тому же появляется вероятность возникновения ошибок. Исключить подобное можно путём использования системы компьютерной алгебры Maxima, которая представляет собой универсальный инструмент для аналитических вычислений [1]. К тому же данная система относится к свободно распространяемому программному обеспечению.
Одним из важных инструментов ТАУ является структурный анализ, при котором сложные системы автоматического управления разбиваются на части, описываемые простыми зависимостями [2]. Из этих частей строятся структурные схемы, являющимися по сути графическими и наглядными изображениями дифференциальных уравнений систем управления.
В качестве примера рассмотрим структурную схему, приведённую на рисунке 1.
Рисунок 1 – Пример структурной схемы
Приведённая на рисунке 1 структурная схема состоит из трёх звеньев с передаточными функциями:
(1)
(2)
(3)
Далее необходимо путём элементарных преобразований свести её к одному звену с некой новой передаточной функцией. Из рисунка 1 видно, что звенья и
соединены последовательно, следовательно, их можно заменить звеном с передаточной функцией, равной произведению
и
. На следующем этапе необходимо исключить звено
, которое стоит в цепи положительной обратной связи. Преобразовав такое соединение, получим выражение для итоговой передаточной функции
:
(4)
Подставив (1), (2) и (3) в (4) получим итоговое выражение для передаточной функции:
Полученное выражение передаточной функции необходимо привести к дроби, где в числителе и знаменателе будут степенные полиномы от оператора
, то есть характеристические уравнения. Очевидно, что подобное преобразование даже для такой достаточно простой структурной схемы (рисунок 1) является трудоёмкой задачей.
Решить такую задачу можно при помощи современных программных математических пакетов, таких как Mathcad, Maple, Wolfram Mathematica и др. Однако данные продукты являются проприетарными, имеют высокую стоимость и не всегда имеют доступные пробные версии. Полноценной альтернативой данных пакетов, может служить система компьютерной алгебры Maxima, бесплатно использовать которую может любой желающий.
Интерфейс Maxima довольно прост и представляет собой большое поле для ввода математических выражений, идущих сверху вниз, строка за строкой. Более подробно ознакомиться с интерфейсом и возможностями программы можно в следующих источниках [3, 4].
Рисунок 2 – Упрощение числителя
Стоит заметить, что современные математические пакеты не имеют в своём составе инструментов для нахождения передаточных функций. В них присутствуют функции, упрощающие выражения, например, функция «collect» в MathCad или «ratsimp» в Maxima. Использовать их для нахождения передаточных функций напрямую нельзя, так как последние являются не просто обычными дробями, в них нельзя сокращать общие множители у числителя и знаменателя, так как при этом понижается порядок дифференциального уравнений.
Рассмотрим получение передаточной функции в Maxima на примере выражения (4). Для начала упростим числитель этого выражения (рисунок 2).
Теперь упростим знаменатель выражения (4). Из формулы видно, что в знаменателе от единицы отнимается произведение трёх дробей. Упростим это произведение (рисунок 3).
Рисунок 3 – Первый этап упрощения знаменателя
Теперь от единицы можно отнять получившуюся дробь (рисунок 4) и завершить упрощение знаменателя .
Рисунок 4 – Второй этап упрощения знаменателя
Теперь необходимо дробь числителя поделить на дробь знаменателя, чтобы получить итоговое выражение передаточной функции (рисунок 5).
Таким образом, видно что Maxima позволяет значительно упростить вывод передаточных функций.
Проблему в ТАУ представляет также процедура получения частотных характеристик (АЧХ, ФЧХ и АФХ) из выражения для передаточной функции. При этом оператор в ней заменяют на произведение мнимой единицы на угловую частоту
. После чего нужно, как правило, в достаточно громоздком выражении выделить вещественную и мнимую части, что также является трудоёмким занятием Упростить его может встроенная в Maxima функция «rectform», рассмотрим её работу на конкретном примере. Пусть дана передаточная функция:
произведём в ней замену на
Рисунок 5 – Завершающий этап преобразования
Теперь наберём данное выражение в Maxima и применим функцию «rectform» (рисунок 6).
Рисунок 6 – Пример работы функции «rectform» в Maxima
Из рисунка 6 видно, что Maxima при помощи одной функции преобразует комплексные выражения, выделяя в нем вещественную и мнимую части, при этом мнимая единица в программе обозначается, как «%i».
В статье была рассмотрена небольшая часть возможностей системы компьютерной алгебры Maxima. Программа позволяет решать системы уравнений, находить производные и интегралы функций, решать дифференциальные уравнения, строить графики функций и т. д., следовательно, она может оказаться полезной не только в ТАУ, но и других технических дисциплинах, позволяя автоматизировать и ускорять расчёты.
1. Система компьютерной алгебры MAXIMA. – Текст электронный [Электронный ресурс] URL:https://maxima.sourceforge.io/ru/index.html ( дата обращения 13.11.2024).
2. Востриков, А.С. Теория автоматического регулирования / А. С. Востриков, Г.А. Французова. – М.: Издательство «Высшая школа», 2004. – 365 с.
3. Стахин, Н.А. Основы работы с системой аналитических (символьных) вычислений Maxima / Н. А. Стахин. – М.: 2008. – 86 с.
4. Чичкарев, Е.А. Компьютерная математика с Maxima: Руководство для школьников и студентов / Е. А. Чичкарев. – М.: ALT Linux, 2012. – 384 с.
