Using dimensional analysis, a general criterion equation for the depth of a vortex during mechanical mixing of an aqueous suspension of activated carbon was obtained
similarity theory, dimensional analysis, mechanical mixing, disk stirrer, aqueous suspension
Механическое перемешивание используется для получения водной суспензии активированного угля при очистке воды [1]. С использованием метода анализа размерностей [2-4] получим общий вид критериального уравнения для глубины образующейся воронки при перемешивании суспензии с помощью дисковой мешалки.
Установим параметры процесса, влияющие на глубину воронки при перемешивании (h, м). К таким параметрам относятся: d – диаметр мешалки, м; n – частота вращения мешалки, об/с; r – плотность суспензии, кг/м3; µ - коэффициент динамической вязкости суспензии, кг/(м·с); g – ускорение свободного падения, м/с2; Н – глубина слоя суспензии в аппарате, м; l – расстояние от диска мешалки до дна аппарата, м. Зависимость глубины воронки от других параметров имеет вид:
. (1)
Первичными (основными) единицами измерения в механических процессах, к которым относится перемешивание, являются: килограммы (единица измерения массы [М]), метры (единица измерения длины [L]), секунды (единица измерения времени [T]).
Представим единицу измерения глубины воронки через первичные (основные) единицы измерения:
. (2)
Аналогично запишем для остальных параметров процесса:
, (4)
, (6)
, (7)
, (8)
. (9)
Внесем сведения о размерности величин в таблицу 1.
Таблица 1
Размерности величин критериального уравнения
|
Величина |
Размерность |
Формула размерности |
Показатели степени |
||
|
[L] |
[M] |
[T] |
|||
|
d |
м |
|
1 |
0 |
0 |
|
n |
c-1 |
|
0 |
0 |
-1 |
|
r |
кг/м3 |
|
-3 |
1 |
0 |
|
µ |
кг/(м·с) |
|
-1 |
1 |
-1 |
|
g |
м/с2 |
|
1 |
0 |
-2 |
|
H |
м |
|
1 |
0 |
0 |
|
l |
м |
|
1 |
0 |
0 |
Примем за основные величины d, n, ρ. Число основных величин, как правило, равняется числу первичных (основных) единиц измерения: кг, с, м.
Из уравнений (3, 4, 5) для единиц измерения d, n, ρ составим систему уравнений:
. (10)
Прологарифмируем:
. (11)
Система уравнений (11) будет справедлива (т.е. будет иметь единственное решение), если составленный из коэффициентов уравнения определитель матрицы отличен от нуля.
По методу треугольника вычислим определитель матрицы, составленной по данным таблицы 1 для величин d, n, ρ:
(12)
Как видно из (12), определитель матрицы не равен нулю, следовательно, основные величины d, n, ρ выбраны верно.
Число переменных величин (параметров процесса) равно n=8. Количество первичных (основных) единиц измерения равно m=3. В соответствии с теоремой подобия число критериев подобия, описывающих процесс перемешивания, равно n-m=5.
Критерии подобия получаются делением каждой оставшейся величины (h, µ, g, H, l) на произведение основных величин (d, n, ρ), возведенных в степени.
Критерии подобия будут иметь вид:
, (13)
, (14)
. (15)
. (16)
. (17)
Представим зависимость (1) в виде, отражающем связь между безразмерными критериями:
, (18)
т.е.
.
Левая часть уравнения (18) – безразмерная величина, следовательно, справедливо выражение:
, (19)
или
. (20)
Тогда:
. (21)
Равенство (21) выполняется, если:
, (22)
откуда:
, 
, 
.
Критерий подобия (13) примет вид:
.
В уравнении (18) безразмерным является также выражение:
, (23)
тогда
, (24)
или
. (25)
. (26)
Равенство (26) выполняется, если:
, (27)
откуда:
; 
; 
.
Безразмерный критерий подобия (14) принимает вид:
.
Критерий П2 запишем в виде:
.
В уравнении (18) безразмерным является также выражение:
,
тогда
, (28)
или
. (29)
. (30)
Равенство (30) выполняется, если:
, (31)
откуда:
; 
; 
.
Безразмерный критерий подобия (15) принимает вид:
.
Критерий П3 запишем в виде:
,
где Fr – безразмерный критерий Фруда.
В уравнении (18) безразмерным является также выражение:
,
тогда
, (32)
или
. (33)
. (34)
Равенство (34) выполняется, если:
, (35)
откуда: 
; 
; 
.
Безразмерный критерий подобия (16) принимает вид:
. (36)
Аналогично критерий П5 получим в виде:
. (37)
Преобразуем два последних критерия в один критерий:
. (38)
Тогда зависимость между безразмерными критериями подобия для процесса перемешивания принимает вид:
, (39)
или
, (40)
. (41)
Значения коэффициента С и показателей степени q, w, f в уравнении (41) определяются экспериментально.
1. Bal'chugov A.V., Badenikov A.V., Anufriev E.A. Raschet ravnomernosti raspredeleniya chastic v suspenzii s ispol'zovaniem parametrov raspre-deleniya skorosti // Sbornik nauchnyh trudov angarskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. Angarsk: AnGTU, 2025. – S. 67-71.
2. Batuner L.M., Pozin M.E. Matematicheskie metody v himicheskoy teh-nike. L.: Himiya, 1968. – 824 s.
3. Bal'chugov A.V., Badenikov A.V. Osnovy nauchnyh issledovaniy, organizaciya i planirovanie eksperimenta. Uchebnoe posobie. Moskva, Vologda: Infra-Inzheneriya, 2026. – 188 s.
4. Braginskiy L.N., Begachev V.I., Barabash V.M. Peremeshivanie v zhidkih sredah. Fizicheskie osnovy i inzhenernye metody rascheta. L.: Himiya, 1984. – 336 s.
