Abstract and keywords
Abstract (English):
Stability of chain line equilibrium position was studied

Keywords:
chain line, equilibrium position, stability
Text
Publication text (PDF): Read Download

Рассмотрим тяжелую однородную нерастяжимую нить, длиной l, закрепленную в точках A и B (рисунок 1).

Рисунок 1 – Цепная линия

Уравнения движения нити в декартовых координатах имеют вид [1]

 

2xt2=∂sT ∂x∂s

(1)

2yt2=∂sT y∂s-q

 

где t – время, s  – дуговая координата нити, T – натяжение, g – вес единицы длины нити.

            В каждой точке нити выполняется условие нерастяжимости

x∂s2+∂y∂s2=1

(2)

В положении равновесия производные по времени равны нулю

∂sT ∂x∂s=0

(3)

∂sT ∂y∂s-q=0

Система (3)  вместе с условием (2) допускает частное решение, соответствующее положению равновесия, в котором нить располагается по цепной линии

x0=a Arcsh 2s-l2a

 

y0=a ch x0a-1

(4)

T0=H ch x0a

 

  где a=Hg, H – положительная постоянная.

Рассмотрим отклонения от положения равновесия

xs,t=x0+us,t

 

ys,t=y0+vs,t

(5)

Ts,t=T0+τs,t

 

Подставим формулы (5) в систему (1). В результате получим систему уравнений возмущенного движения

2ut2=∂sT0∂u∂s+∂sτ∂sx0+us,t

(6)

2vt2=+∂sT0∂v∂s+∂sτ∂sy0+vs,t

Умножим первое уравнение системы (6) на  ∂u∂t, второе – на v∂t,  проинтегрируем каждое уравнение по  s  от 0 до l  и сложим их. После преобразований, с учетом условия (2), получим первый интеграл

V=0l12∂u∂t2+12∂v∂t2+T02∂u∂s2+T02∂v∂s2ds=const

(7)

Этот интеграл определенно положителен и непрерывен по мере

ρ=0l∂u∂t2+∂v∂t2+∂u∂s2+∂v∂s2ds

(8)

На основании теоремы об устойчивости по одной мере [2] приходим к выводу, что положение равновесия (4) устойчиво по мере ρ

.

References

1. Merkin D.R. Vvedenie v mehaniku gibkoy niti. / D.R. Merkin. - M.: Nauka. - 1980.

2. Sirazetdinov T. K. Ustoychivost' sistem s raspredelennymi parametra-mi. / T. K. Sirazetdinov. - Novosibirsk: Nauka. - 1987.

Login or Create
* Forgot password?