ONSOME METHODS FOR SIMPLIFYING THE GENERAL EQUATIONS OF CURVES OF THE SECOND-ORDER
Abstract and keywords
Abstract (English):
The article is considered with basic methods for reducing the general equation of a second-order curve to the canonical form

Keywords:
second-order curve, form of degree of two, canonical equation
Text
Publication text (PDF): Read Download

Кривые второго порядка были известны еще в древней Греции и назывались «коническими сечениями». Применение изученных греками кривых нашло применение в XVII-XIII в. баллистике и астрономии. После введения понятия космических скоростей оказалось, что тело, запущенное с различной скоростью, может двигаться в пространстве по различным траекториям, представляющим кривые второго порядка: эллипс, гиперболу и параболу. В XX веке физические эксперименты показали, что и частицы двигаются по траекториям, являющимися кривыми второго порядка. Основной задачей, связанной с изучением кривых второго порядка и их приложений, является приведение общего уравнения кривой

                                                                              (1)

к каноническому виду. Уравнение (1) в зависимости от числовых значений коэффициентов  и  в плоскости  определяет кривые трех типов: эллиптического, гиперболического и параболического.

Задача упрощения состоит в том, чтобы в преобразованном уравнении были устранены:

1) член, содержащий произведение текущих координат;

2) члены, содержащие первые степени двух координат или, по крайней мере, одной из них.

Для ее решения можно воспользоваться следующими приемами:

1) использование квадратичной формы и метода приведения ее к каноническому виду;

2) преобразование координат в общем уравнении по формулам:

                                                                                                       (2)

Используя первый прием, квадратичная форма  приводится к каноническому виду

                                               .

Собственные векторы  и задают новый ортогональный базис , где  и  будут получены геометрически путем поворота системы  на угол . Координаты орт вектора  совпадают с направляющими косинусами вектора в первоначальной системе координат:

                                                                                                          (3)

Выражение в уравнении (1) заменяют с помощью формул перехода к новой системе координат :

                                                                                                                 (4)

и полученное уравнение приводят к каноническому виду:

                              (5)

В случае упрощения общего уравнения кривой по формулам (2) добиваются того, чтобы в преобразованном уравнении был устранен член, содержащий произведение текущих координат. Угол поворота  выбирается таким образом, чтобы коэффициент при произведении  обратился в нуль. Полученное уравнение также приводят к каноническому виду (5).

References

1. Beklemishev, D.V. Kurs analiticheskoy geometrii i lineynoy algebry. - M.: Izdatel'stvo «Nauka», 1974. - 320 s.

2. Ignat'eva, A.V., Krasnoschekova, T.I., Smirnov, V.F. Kurs vysshey matema-tiki. - M.: Izdatel'stvo «Vysshaya shkola», 1968. - 692 s.

Login or Create
* Forgot password?