The article is considered with basic methods for reducing the general equation of a second-order curve to the canonical form
second-order curve, form of degree of two, canonical equation
Кривые второго порядка были известны еще в древней Греции и назывались «коническими сечениями». Применение изученных греками кривых нашло применение в XVII-XIII в. баллистике и астрономии. После введения понятия космических скоростей оказалось, что тело, запущенное с различной скоростью, может двигаться в пространстве по различным траекториям, представляющим кривые второго порядка: эллипс, гиперболу и параболу. В XX веке физические эксперименты показали, что и частицы двигаются по траекториям, являющимися кривыми второго порядка. Основной задачей, связанной с изучением кривых второго порядка и их приложений, является приведение общего уравнения кривой
(1)
к каноническому виду. Уравнение (1) в зависимости от числовых значений коэффициентов и
в плоскости
определяет кривые трех типов: эллиптического, гиперболического и параболического.
Задача упрощения состоит в том, чтобы в преобразованном уравнении были устранены:
1) член, содержащий произведение текущих координат;
2) члены, содержащие первые степени двух координат или, по крайней мере, одной из них.
Для ее решения можно воспользоваться следующими приемами:
1) использование квадратичной формы и метода приведения ее к каноническому виду;
2) преобразование координат в общем уравнении по формулам:
(2)
Используя первый прием, квадратичная форма приводится к каноническому виду
.
Собственные векторы и
задают новый ортогональный базис
, где
и
будут получены геометрически путем поворота системы
на угол
. Координаты орт вектора
совпадают с направляющими косинусами вектора в первоначальной системе координат:
(3)
Выражение в уравнении (1) заменяют с помощью формул перехода к новой системе координат
:
(4)
и полученное уравнение приводят к каноническому виду:
(5)
В случае упрощения общего уравнения кривой по формулам (2) добиваются того, чтобы в преобразованном уравнении был устранен член, содержащий произведение текущих координат. Угол поворота выбирается таким образом, чтобы коэффициент при произведении
обратился в нуль. Полученное уравнение также приводят к каноническому виду (5).
1. Beklemishev, D.V. Kurs analiticheskoy geometrii i lineynoy algebry. - M.: Izdatel'stvo «Nauka», 1974. - 320 s.
2. Ignat'eva, A.V., Krasnoschekova, T.I., Smirnov, V.F. Kurs vysshey matema-tiki. - M.: Izdatel'stvo «Vysshaya shkola», 1968. - 692 s.
