According to the current regulatory documentation, an algorithm for calculating uncertainty in indirect measurements is shown. An example of the calculation of the extended uncertainty in indirect measurements is given
accuracy of measurement results, concept of measurement uncertainty, uncertainty, standard uncertainty, type A uncertainty estimation, type B uncertainty estimation, total standard uncer-tainty, expanded uncertainty
В последние десятилетия международные требования к оценке точности измерений регламентируют необходимость представлять результаты измерений с точки зрения концепции неопределенности измерений. Классический подход к представлению результатов измерений приведен в [1-5]. Несмотря на достаточно обширную отечественную нормативную базу в области концепции неопределенности, обзор которой был представлен в [6], применение этой концепции вызывает затруднения у рядового пользователя. Действительно, освоение, например, одного из основополагающих документов [7], требует, помимо владения метрологической терминологией, также и довольно глубокого знания элементов теории вероятностей и математической статистики. Однако в этом документе даются четкие указания по проведению процедуры оценки неопределенности в различных ситуациях, подкрепленные примерами ее применения.
В работе [6] был представлен пример оценки неопределенности измерений в случае прямого измерения. Такие измерения часто встречаются, например, при измерении концентрации какого-либо вещества с применением соответствующих приборов. Однако в исследовательской практике зачастую возникает необходимость проведения косвенных измерений. Процедура оценки неопределенности измерений для этого случая также описана в [7].
Алгоритм оценивания неопределенности измерений при косвенных измерения включает в себя следующие этапы.
1. Составление модельного уравнения, которое выражают зависимость между выходной величиной Y и входными величинами х1, х2, … xm в виде:
2. Оценивание входных величин, за которые принимают среднее арифметическое результата n наблюдений над каждой входной величиной.
3. Вычисление оценки результата измерения, которую получают при подстановке в модельное уравнение оценок входных величин по пункту 2.
4. Вычисление стандартных неопределенностей входных величин:
- стандартной неопределенности по типу А (статистическим способом);
- стандартная неопределенность по типу В (нестатистическим способом).
5. Вычисление вкладов стандартных неопределенностей входных величин, которые получают с учетом коэффициентов чувствительности. Последние получают нахождением частных производных по соответствующей входной величине.
6. Определение суммарной стандартной неопределенности, которую получают геометрическим суммированием всех вкладов.
7. Вычисление расширенной неопределенности с учетом коэффициента охвата. Последний определяется по заданному уровню доверия и числу степеней свободы.
8. Запись результата в виде суммарной стандартной неопределенности или расширенной неопределенности.
Рассмотрим метод оценки неопределенности косвенного измерения на примере определения мощности электрического тока Р, выделяемой на резисторе. Пусть в электронной схеме имеется резистор с номинальным сопротивлением R = 1 кОм = 1000 Ом и, согласно документации на резистор, допустимое отклонение от номинала составляет ±0,1 %.
Измерения тока через резистор проводились миллиамперметром, имеющим с диапазоном измерений 0 – 100 мА, по документации его класс точности 1,0.
При трехкратном (n=3) измерении силы тока, производимом при нормальных условиях применения миллиамперметра, получены следующие результаты: I1=9,8 мА=9,8∙10-3 А; I2=10,0 мА=10,0∙10-3 А; I3=10,2 мА=10,2∙10-3 А.
Произведем оценку неопределенности измерений в соответствии с алгоритмом, представленным выше.
1. Модельное уравнение имеет вид:
(1)
2. Входных величины имеется две: R и I. За значение R принимаем его номинальное значение, а значение тока получаем путем оценивания:
(2)
3. Оценка результата измерений в соответствии с (1) и (2) имеет вид:
(3)
4. Произведем оценки стандартных неопределенностей входных величин.
а) Стандартная неопределенность типа А оценки измерения тока 
:
(4)
б) Стандартная неопределенность типа В оценки сопротивления рассчитывается при учете, что допустимое отклонение от номинала резистора δ=±0,1 %. Отсюда граница неисключенной систематической погрешности (НСП) сопротивления резистора 
составляет:
Стандартная неопределенность типа В при наличии границ НСП определяется по общей формуле 
. Поскольку закон распределения погрешностей неизвестен, принимаем его равновероятным, тогда 
. Отсюда стандартная неопределенность типа В оценки сопротивления равна:
(5)
в) Стандартную неопределенность типа В оценки силы тока определяем из условия, что в соответствии с его классом точности его относительная погрешность δ = ±1,0 %. Тогда стандартная неопределенность оценки силы тока составляет:
(6)
5. Для вычисления вкладов стандартных неопределенностей входных величин определим коэффициенты чувствительности сi.
Коэффициент чувствительности мощности к изменению сопротивления:
(7)
Коэффициент чувствительности мощности к изменению тока:
(8)
Вклад неопределенности каждой входной величины в суммарную стандартную неопределенность определяется по общей формуле ui(y)=ci∙u(xi). Отсюда вклады неопределенностей входных величин в неопределенность измерения мощности равны:
- вклад от неопределенностей (по типу А) определения силы тока с учетом формул (4) и (8):
(9)
- вклад от неопределенности (по типу В) определения тока с учетом формул (8) и (6):
(10)
- вклад от неопределенностей (по типу В) определения сопротивления с учетом формул (7) и (5):
(11)
6. При определении суммарной стандартной неопределенности заметим, что вклад неопределенности от изменения сопротивления резистора на два порядка меньше обоих вкладов (и по типу А, и по типу В) от измерения тока, поэтому вкладом 
можно пренебречь.
Суммарная стандартная неопределенность измерения мощности равна:
7. Для вычисления расширенной неопределенности определим коэффициент охвата 
по распределению Стьюдента при уровне доверия р=0,95 и числе степеней свободы 
:
По таблице распределения Стьюдента при р=0,95 (уровень значимости α=1- р =1- 0,95=0,05) и числе степеней свободы υeff = 3 значение коэффициента охвата k=t0,95(3)=
= 3,18.
Расширенная неопределенность равна:
8. Запись результата: Р = (0,100 ± 0,008) Вт, p=0,95.
Настоящий расчет произведен для наиболее простого случая, когда входные величины (R и I) некоррелированны и измерения тока миллиамперметром проводились в нормальных условиях его применения (т.е. учитывалась только его основная относительная погрешность). Простота выбранных измерительных условий вызвана тем, что основной задачей, которую ставили перед собой авторы, является демонстрация процедуры оценки неопределенности при косвенных измерениях.
1. Kirillov, V.I. Metrologicheskoe obespechenie tehnicheskih sistem: uchebnoe posobie / V. I. Kirillov. - Minsk: Novoe znanie, 2017. - 424 s.
2. Mochalov, V.D. Metrologiya, standartizaciya i sertifikaciya. Vzaimozamenyaemost' i tehnicheskie izmereniya: uchebnoe posobie / V. D. Mochalov, A. A. Pogonin, A. G. Shirtladze. - 3-e izd., pererabotannoe i dopolnennoe. - Staryy Oskol : Tonkie naukoemkie tehnologii, 2017. - 263 s.
3. Sergeev, A.G. Metrologiya: uchebnik i praktikum dlya SPO: dlya studentov obrazovatel'nyh uchrezhdeniy srednego professional'nogo obrazovaniya / A. G. Serge-ev, V. V. Teregerya. - 2-e izd., pererabotannoe i dopolnennoe. - Moskva: Yurayt, 2017. - 421 s.
4. Hromoy, B.P. Metrologiya, standartizaciya i sertifikaciya: uchebnik dlya studentov i aspiranto, / B. P. Hromoy. - Moskva: Goryachaya liniya - Telekom, 2018. - 432 s.
5. Shishmarev, V. Yu. Metrologiya, standartizaciya i sertifikaciya: uchebnik / V. Yu. Shishmarev. - Rostov-na-Donu: Fe-niks, 2019. - 429 s.
6. Voronova, T. S. Neopredelennost' izmereniy pri opredelenii ih tochnosti / T. S. Voronova, M. V. Pil'cov, V. A. Kulygin // Sb. nauch. trudov AnGTU. - 2023. - №20. - s. 12-15.
7. GOST 34100.3-2017 Neopredelennost' izmereniya. Chast' 3. Rukovodstvo po vyrazheniyu neopredelennosti izmereniya. - M.: Standartinform, 2018. - 104 s.
