Angarskiy gosudarstvennyy tehnicheskiy universitet (Vychislitel'nye mashiny i kompleksy, Professor)
Russian Federation
Russian Federation
Russian Federation
Russian Federation
Based on the Pontryagin maximum principle, the problem of the speed of heating a liquid product with a liquid coolant is posed and solved. The mathematical model of the object, the dynamic characteristics of the variables of the object and the optimal control found are given
the task is about speed, optimal control, heating of the liquid product
На предприятиях пищевой, химической и нефтехимической промышленности часто встречается задача нагрева или охлаждения жидкого сырья или продуктов переработки в емкостях, оснащенных «рубашками» с циркулирующим в них теплоносителем или хладоагентом. В больших емкостях как для нагрева, так и охлаждения содержимого до нужной температуры требуются значительные энергетические затраты. Поэтому управление тепловыми процессами часто является определяющим фактором в технико-экономических показателях производства.
В данной работе поставлена и решена задача нагрева продукта до заданной температуры за наименьшее время.
Рассмотрим емкость с мешалкой, оснащенную снаружи рубашкой, в которую непрерывно подается жидкий теплоноситель (рис. 1).
Нагрев продукта до заданной температуры осуществляется после полной загрузки продукта в емкость, конвективные потоки продукта на входе и выходе емкости в процессе нагрева отсутствуют.
|
Тепло-носитель |
|
Продукт |
Рис.1. Схема потоков в емкости
с рубашкой
Передача тепла от теплоносителя продукту осуществляется через разделяющую емкость и рубашку поверхность. В рассматриваемой емкости установлено перемешивающее устройство, поэтому можно принять допущение, что в емкости отсутствует передача тепла теплопроводностью. Поскольку в рубашку непрерывно подается теплоноситель, имеются конвективные потоки теплоносителя на входе и выходе рубашки. Как и для емкости, примем допущение о том, что передача тепла в рубашке за счет теплопроводности незначительна. По этой причине и емкость, и рубашку емкости можно описать моделью для аппарата идеального смешения [1] (периодического – для емкости, непрерывного – для рубашки).
Уравнения скорости изменения температуры в емкости и рубашке
в виде уравнений Коши будут выглядеть следующим образом:
(1)
где - коэффициент теплопередачи, кДж/(м2·0С·с);
– поверхность теплообмена, м2;
и
- объемы емкости и рубашки соответственно, м3;
и
- плотности продукта и теплоносителя, кг/м3;
и
– удельные теплоемкости продукта и теплоносителя, кДж/(кг·0С);
– температура теплоносителя на входе в рубашку, 0С;
– объемный расход теплоносителя в рубашку, м3/c.
Для дальнейшего удобства представим систему уравнений (1) в следующем виде
(2)
где ,
,
,
.
Зададим граничные условия для обеих переменных в начальный и конечный
моменты времени:
,
,
,
. (3)
Управляющим воздействием в задаче нагрева жидкого продукта в емкости с рубашкой является расход теплоносителя, подаваемого в рубашку.
Функционал качества управления в задаче о быстродействии задается в виде
(4)
Укажем ограничение, налагаемое на расход теплоносителя в рубашку емкости
(5)
Требуется определить такой расход теплоносителя в рубашку , который обеспечивает перевод объекта в заданное состояние за минимальное время.
Уравнения системы (2) являются линейными, поэтому принцип максимума Понтрягина будет и необходимым, и достаточным условием оптимальности для решения поставленной задачи [2].
Составим гамильтониан для заданной задачи
, (6)
где - сопряженные функции к системе уравнений (2) и подынтегральному выражению в функционале (4).
Рассматривая в гамильтониане только член, зависящий от искомого управление и сопряженных функций, получим из выражения (6)
. (7)
Чтобы гамильтониан (6) принимал максимальное значение, необходимо всякий раз, когда , соблюсти управление
и
в случае, когда
. Поскольку разница
всегда больше или равна нулю (в данной задаче температура теплоносителя в рубашке не может быть больше температуры теплоносителя на входе в рубашку), максимум гамильтониана
определяется знаком функции
(8)
Закон управления (8) справедлив на всем интервале управления .
Для нахождения оптимального управления, в том числе количество переключений управления между и
, необходимо определить выражение для сопряженной функции
, при которой система уравнений (2) удовлетворяет граничным условиям (3).
Сопряженные переменные определяются уравнениями
, (9)
и выглядят следующим образом
(10)
Общее решение системы уравнений (10) имеет вид
, (11)
, (12)
(13)
где
а – постоянные интегрирования системы (10).
Из выражения (13) видно, что функция при любых значениях
и
не более одного раза меняет знак на отрезке времени
. Это означает, что управление
состоит из не более двух интервалов управления с
и
.
Обыкновенно постоянные интегрирования в решении дифференциальных уравнений определяются из начальных условий, но начальные условия для сопряженных функций неизвестны. Неизвестны они и для конечных условий. Их роль выполняют начальные и конечные условия для температур. Поэтому, постоянные интегрирования для сопряженных функций найдем после определения - времени функционирования объекта под воздействием управления
. Для этого проинтегрируем уравнения системы (2).
Очевидно, что в начальный момент времени при объект функционирует под воздействием управления
.
Общее решение системы уравнений (2) с управляющим воздействием выглядит следующим образом
, (14)
, (15)
где и
– функции температуры в емкости и рубашке в начальный момент времени,
– постоянные интегрирования системы (2) для начального момента времени, а значения
и
в выражениях (14) и (15) находятся как
.
Используя начальные условия при , определяем постоянные интегрирования:
,
.
В конечный момент времени при объект функционирует под воздействием управления
, а общее решение системы уравнений (2) имеет вид
, (16)
, (17)
где и
– функции температуры в емкости и рубашке в конечный момент времени
,
– постоянные интегрирования системы (2) для конечного момента времени, а значение
в выражениях (16) и (17) находится как
.
Используя условия на конец управления при , определяем постоянные интегрирования:
,
.
Время управления и время смены управляющего воздействия
находятся из условия неразрывности решения в момент времени
(18)
Руководствуясь условием теоремы принципа максимума Понтрягина, согласно которому на интервале управления выполняется тождество
из уравнений гамильтониана в начальный и конечный моменты времени определяются постоянные интегрирования ,
и искомое выражение для сопряженной функции
Приведем пример решения.
В табл. 1 приведены конструктивные и теплофизические параметры объекта управления.
Таблица 1 - Параметры объекта управления
|
Наименование |
Обозначение |
Единицы измерения |
|
Объем емкости |
|
м3 |
|
Объем рубашки |
|
м3 |
|
Поверхность теплообмена |
|
м2 |
|
Коэффициент теплопередачи |
|
кДж/(м2·0С·с); |
|
Плотность продукта |
|
кг/м3 |
|
Плотность греющей воды |
|
кг/м3 |
|
Удельная теплоемкость продукта |
|
кДж/(кг·0С) |
|
Удельная теплоемкость греющей воды |
|
кДж/(кг·0С) |
|
Температура греющей воды на входе в рубашку |
|
0С |
|
Допустимые границы изменения расхода греющей воды в рубашку |
|
м3/c
|
Граничные условия для переменных в начальный и конечный
моменты времени:
0С,
0С,
0С,
0С.
В начальный момент времени при под воздействием управления в соответствии с (14), (15) объект описывается уравнениями
,
,
а в конечный момент времени при , при
решение системы уравнений (2) в соответствии с (16), (17) имеет вид
,
.
Время смены управляющего воздействия составило секунд, время управления
– 777 секунд.
Постоянные интегрирования сопряженных функций и
найдены из уравнений равенства гамильтониана нулю в начальный и конечный моменты времени. Выражения для сопряженных функций выглядят следующим образом:
,
.
Результаты решения задачи оптимального нагрева продукта в емкости приведены на рис.2 и 3.
Из анализа графика на рис. 2 видно, что управление носит кусочно-непрерывный характер.
Управляющее воздействие принимает только свои граничные значения. Момент смены знака управляющего воздействия
на рис. 2 совпадает с моментом времени перехода функции
через нуль на рис. 3. Условия принципа максимума выполнены. Наименьшее время перевода объекта из начального в конечное состояние составило 777 секунд. Объем затраченного теплоносителя составил 5,99 м3.
Рисунок 2 - Динамические характеристики и закон управления
Рисунок 3 - График сопряженной функции
1. Kafarov V.V. Metody kibernetiki v himii i himicheskoy tehnologii. – M.: Himiya, 1985. – 448 s.
2. Pontryagin L.S., Boltyanskiy V.G., Gamkrelidze R.V., Mischenko E.F. Matematicheskaya teoriya optimal'nyh processov . 4-e izdanie, - M.: Nauka, 1983. – 392 s.
3. Plyuschaev V.I., Pahomov A.M. Model' sistemy stabilizacii temperatury produkta v emkosti s peremennoy massoy // Avtomatizaciya i sovremennye tehnologii. – M.: 2005. - № 6. – S. 25-28.
4. Kudryashov V.S., Alekseev M.V., Yudakov A.A. Razrabotka matematicheskoy modeli stadii nagreva rezinovoy smesi i sintez algoritma upravleniya nagrevom s ispol'zovaniem principa maksimuma Pontryagina // Vestnik VGUIT, - № 2, 2017. – S. 80-87.
