Ангарский государственный технический университет (Вычислительные машины и комплексы, Профессор)
Россия
Россия
На основе принципа максимума Понтрягина поставлена и решена задача о быстродействии нагрева жидкого продукта жидким теплоносителем. Приведены математическая модель объекта, динамические характеристики переменных объекта и найденное оптимальное управление
задача о быстродействии, оптимальное управление, нагрев жидкого продукта
На предприятиях пищевой, химической и нефтехимической промышленности часто встречается задача нагрева или охлаждения жидкого сырья или продуктов переработки в емкостях, оснащенных «рубашками» с циркулирующим в них теплоносителем или хладоагентом. В больших емкостях как для нагрева, так и охлаждения содержимого до нужной температуры требуются значительные энергетические затраты. Поэтому управление тепловыми процессами часто является определяющим фактором в технико-экономических показателях производства.
В данной работе поставлена и решена задача нагрева продукта до заданной температуры за наименьшее время.
Рассмотрим емкость с мешалкой, оснащенную снаружи рубашкой, в которую непрерывно подается жидкий теплоноситель (рис. 1).
Нагрев продукта до заданной температуры осуществляется после полной загрузки продукта в емкость, конвективные потоки продукта на входе и выходе емкости в процессе нагрева отсутствуют.
|
Тепло-носитель |
|
Продукт |
Рис.1. Схема потоков в емкости
с рубашкой
Передача тепла от теплоносителя продукту осуществляется через разделяющую емкость и рубашку поверхность. В рассматриваемой емкости установлено перемешивающее устройство, поэтому можно принять допущение, что в емкости отсутствует передача тепла теплопроводностью. Поскольку в рубашку непрерывно подается теплоноситель, имеются конвективные потоки теплоносителя на входе и выходе рубашки. Как и для емкости, примем допущение о том, что передача тепла в рубашке за счет теплопроводности незначительна. По этой причине и емкость, и рубашку емкости можно описать моделью для аппарата идеального смешения [1] (периодического – для емкости, непрерывного – для рубашки).
Уравнения скорости изменения температуры в емкости и рубашке
в виде уравнений Коши будут выглядеть следующим образом:
(1)
где - коэффициент теплопередачи, кДж/(м2·0С·с);
– поверхность теплообмена, м2;
и
- объемы емкости и рубашки соответственно, м3;
и
- плотности продукта и теплоносителя, кг/м3;
и
– удельные теплоемкости продукта и теплоносителя, кДж/(кг·0С);
– температура теплоносителя на входе в рубашку, 0С;
– объемный расход теплоносителя в рубашку, м3/c.
Для дальнейшего удобства представим систему уравнений (1) в следующем виде
(2)
где ,
,
,
.
Зададим граничные условия для обеих переменных в начальный и конечный
моменты времени:
,
,
,
. (3)
Управляющим воздействием в задаче нагрева жидкого продукта в емкости с рубашкой является расход теплоносителя, подаваемого в рубашку.
Функционал качества управления в задаче о быстродействии задается в виде
(4)
Укажем ограничение, налагаемое на расход теплоносителя в рубашку емкости
(5)
Требуется определить такой расход теплоносителя в рубашку , который обеспечивает перевод объекта в заданное состояние за минимальное время.
Уравнения системы (2) являются линейными, поэтому принцип максимума Понтрягина будет и необходимым, и достаточным условием оптимальности для решения поставленной задачи [2].
Составим гамильтониан для заданной задачи
, (6)
где - сопряженные функции к системе уравнений (2) и подынтегральному выражению в функционале (4).
Рассматривая в гамильтониане только член, зависящий от искомого управление и сопряженных функций, получим из выражения (6)
. (7)
Чтобы гамильтониан (6) принимал максимальное значение, необходимо всякий раз, когда , соблюсти управление
и
в случае, когда
. Поскольку разница
всегда больше или равна нулю (в данной задаче температура теплоносителя в рубашке не может быть больше температуры теплоносителя на входе в рубашку), максимум гамильтониана
определяется знаком функции
(8)
Закон управления (8) справедлив на всем интервале управления .
Для нахождения оптимального управления, в том числе количество переключений управления между и
, необходимо определить выражение для сопряженной функции
, при которой система уравнений (2) удовлетворяет граничным условиям (3).
Сопряженные переменные определяются уравнениями
, (9)
и выглядят следующим образом
(10)
Общее решение системы уравнений (10) имеет вид
, (11)
, (12)
(13)
где
а – постоянные интегрирования системы (10).
Из выражения (13) видно, что функция при любых значениях
и
не более одного раза меняет знак на отрезке времени
. Это означает, что управление
состоит из не более двух интервалов управления с
и
.
Обыкновенно постоянные интегрирования в решении дифференциальных уравнений определяются из начальных условий, но начальные условия для сопряженных функций неизвестны. Неизвестны они и для конечных условий. Их роль выполняют начальные и конечные условия для температур. Поэтому, постоянные интегрирования для сопряженных функций найдем после определения - времени функционирования объекта под воздействием управления
. Для этого проинтегрируем уравнения системы (2).
Очевидно, что в начальный момент времени при объект функционирует под воздействием управления
.
Общее решение системы уравнений (2) с управляющим воздействием выглядит следующим образом
, (14)
, (15)
где и
– функции температуры в емкости и рубашке в начальный момент времени,
– постоянные интегрирования системы (2) для начального момента времени, а значения
и
в выражениях (14) и (15) находятся как
.
Используя начальные условия при , определяем постоянные интегрирования:
,
.
В конечный момент времени при объект функционирует под воздействием управления
, а общее решение системы уравнений (2) имеет вид
, (16)
, (17)
где и
– функции температуры в емкости и рубашке в конечный момент времени
,
– постоянные интегрирования системы (2) для конечного момента времени, а значение
в выражениях (16) и (17) находится как
.
Используя условия на конец управления при , определяем постоянные интегрирования:
,
.
Время управления и время смены управляющего воздействия
находятся из условия неразрывности решения в момент времени
(18)
Руководствуясь условием теоремы принципа максимума Понтрягина, согласно которому на интервале управления выполняется тождество
из уравнений гамильтониана в начальный и конечный моменты времени определяются постоянные интегрирования ,
и искомое выражение для сопряженной функции
Приведем пример решения.
В табл. 1 приведены конструктивные и теплофизические параметры объекта управления.
Таблица 1 - Параметры объекта управления
|
Наименование |
Обозначение |
Единицы измерения |
|
Объем емкости |
|
м3 |
|
Объем рубашки |
|
м3 |
|
Поверхность теплообмена |
|
м2 |
|
Коэффициент теплопередачи |
|
кДж/(м2·0С·с); |
|
Плотность продукта |
|
кг/м3 |
|
Плотность греющей воды |
|
кг/м3 |
|
Удельная теплоемкость продукта |
|
кДж/(кг·0С) |
|
Удельная теплоемкость греющей воды |
|
кДж/(кг·0С) |
|
Температура греющей воды на входе в рубашку |
|
0С |
|
Допустимые границы изменения расхода греющей воды в рубашку |
|
м3/c
|
Граничные условия для переменных в начальный и конечный
моменты времени:
0С,
0С,
0С,
0С.
В начальный момент времени при под воздействием управления в соответствии с (14), (15) объект описывается уравнениями
,
,
а в конечный момент времени при , при
решение системы уравнений (2) в соответствии с (16), (17) имеет вид
,
.
Время смены управляющего воздействия составило секунд, время управления
– 777 секунд.
Постоянные интегрирования сопряженных функций и
найдены из уравнений равенства гамильтониана нулю в начальный и конечный моменты времени. Выражения для сопряженных функций выглядят следующим образом:
,
.
Результаты решения задачи оптимального нагрева продукта в емкости приведены на рис.2 и 3.
Из анализа графика на рис. 2 видно, что управление носит кусочно-непрерывный характер.
Управляющее воздействие принимает только свои граничные значения. Момент смены знака управляющего воздействия
на рис. 2 совпадает с моментом времени перехода функции
через нуль на рис. 3. Условия принципа максимума выполнены. Наименьшее время перевода объекта из начального в конечное состояние составило 777 секунд. Объем затраченного теплоносителя составил 5,99 м3.
Рисунок 2 - Динамические характеристики и закон управления
Рисунок 3 - График сопряженной функции
1. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. – М.: Химия, 1985. – 448 с.
2. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов . 4-е издание, - М.: Наука, 1983. – 392 с.
3. Плющаев В.И., Пахомов А.М. Модель системы стабилизации температуры продукта в емкости с переменной массой // Автоматизация и современные технологии. – М.: 2005. - № 6. – С. 25-28.
4. Кудряшов В.С., Алексеев М.В., Юдаков А.А. Разработка математической модели стадии нагрева резиновой смеси и синтез алгоритма управления нагревом с использованием принципа максимума Понтрягина // Вестник ВГУИТ, - № 2, 2017. – С. 80-87.
