Ангарский государственный технический университет (Вычислительные машины и комплексы, Профессор)
Россия
Россия
Россия
Методом вариационного исчисления решена задача подъема ракеты на заданную высоту за фиксированное время при минимальном расходе топлива. Задача нахождения оптимальных траекторий переменных и управления сформулирована как краевая задача с недостающими начальными условиями, поиск которых реализован с помощью разностного метода решения краевой задачи
оптимальное управление, принцип максимума, управление ракетой
Задача управления подъемом метеорологической ракеты рассматривалась в работах [1-3]. В отличие от этих работ в данной статье исследуется задача подъема метеорологической ракеты на заданную высоту за фиксированное время при минимальной энергии управляющего воздействия.
Для постановки задачи оптимального управления необходимы:
1) математическая модель, описывающая поведение метеорологической ракеты в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений;
2) ограничение на управляющую функцию;
3) критерий оптимальности, оценивающий достижение заданной цели.
При составлении модели прямолинейного движения ракеты примем допущение о незначительном влиянии аэродинамического сопротивления. Также будем считать значение ускорения свободного падения постоянным, не зависящем от высоты подъема ракеты.
Обозначим вертикальную координату ракеты через (высота подъема ракеты, м); скорость ракеты через
, м/с; массу ракеты через
, кг. Ракета обладает некоторым запасом топлива.
Тогда уравнения движения ракеты можно описать следующим образом:
(1)
где β – импульс двигателя ракеты, м/с; – массовый расход топлива, кг/с; g – ускорение свободного падения, м/с2.
Начальные условия для переменных в момент времени :
,
,
, (2)
где – масса ракеты с топливом.
Управлением метеорологической ракеты является расход топлив . Требуется найти управление
, позволяющее поднять ракету на заданную высоту
за фиксированное время
при минимальном квадрате расхода топлива
(3)
при выполнении ограничения
. (4)
Введем граничные условия в момент времени :
,
. (5)
Масса ракеты в момент времени неизвестна и подлежит определению в результате нахождения оптимального управления.
Составим гамильтониан задачи:
(6)
Найдем частную производную гамильтониана (6) по управлению и из равенства нулю этой производной определим выражение для управления как функцию времени:
.
Принимая во внимание, что число является константой и равно
[4], управляющее воздействие примет вид:
. (7)
Для нахождения оптимального управления (7) необходимо определить выражения для сопряженных функций и
, при которых система уравнений (1) удовлетворяет граничным условиям (2) и (5).
Уравнения для сопряженных функций имеют вид:
(8)
Составим расширенную систему с учетом управления (7):
(9)
В результате получаем краевую двухточечную задачу удвоенной размерности по сравнению с системой (1). Дифференциальные уравнения этой задачи содержат три уравнения движения объекта и три уравнения для сопряженных функций. Кроме этих неизвестных функций в уравнения двухточечной краевой задачи входит и функция управления, выраженная через прямые и сопряженные функции. Система уравнений (9) является нелинейной и не имеет аналитического решения. Ее решение возможно только численными методами.
В дальнейшем исследование показало, что решить краевую задачу наиболее известным алгоритмом для решения краевых задач, называемым методом стрельбы или пристрелки [5], который заключается в последовательном подборе недостающих начальных условий на левой границе интервала, и решении затем полученной задачи Коши до приведения к заданным граничным условиям на правой границе интервала, оказалось невозможным в силу жесткости системы (9) (значения переменных объекта и сопряженных функций различаются на порядки).
Эффективным способом нахождения недостающих начальных условий для краевой задачи (9) оказался разностный метод [6]. Для этого временной расчетный интервал покрывался сеткой из точек с
шагами решения. Дифференциальные уравнения системы (9) заменялись на их разностные аналоги:
(10)
где – шаг сетки.
Полная система нелинейных алгебраических уравнений для шагов сетки состояла из
систем (10) с неизвестными
,
и
(
),
,
,
(
) и шестью начальными и граничными условиями:
,
,
,
,
,
. (11).
Последнее граничное условие из (11) определяется условием трансверсальности [7], согласно которому на правом конце функция сопряженности равна нулю, так как нет условия на конец траектории переменной
(массы ракеты) в конце управления
.
Полученная система нелинейных алгебраических уравнений решалась методом Ньютона, называемым также методом касательных.
Если начальное приближение выбрано достаточно хорошо для корней уравнений, то метод Ньютона сходится очень быстро и удобен для практического использования.
Найденные начальные условия для сопряженных переменных обеспечивали приведение объекта к заданным граничным условиям, при которых функционал (3) принимал минимальное значение.
Рассмотрим пример. Найти такую функцию квадрата расхода топлива, при которой метеорологическая ракета поднимется на высоту 50000 м за 150 секунд при минимуме квадрата расхода топлива. В качестве данных для решения задачи приняты конструктивные показатели советской метеорологической ракеты МР-25. В таблице 1 приведены конструктивные параметры ракеты МР-25 [1].
Таблица 1 – Параметры ракеты МР-25
|
Наименование |
Обозначение |
Единицы измерения |
|
Импульс двигателя |
|
м/c |
|
Масса пустой ракеты |
|
кг |
|
Масса ракеты с топливом |
|
кг |
|
Предельные границы расхода топлива |
|
кг/c |
Начальные и граничные условия для переменных в начальный и конечный
моменты времени:
,
,
,
,
,
. (12)
Система уравнений (10) с шагом сетки с примет вид:
(13)
.
Из решения системы, которое найдено с помощью численного метода Ньютона-Рафсона, определены недостающие начальные условия для сопряженных переменных:
,
,
.
Решение системы (9) с найденными начальными условиями для сопряженных функций в пакете Mahtcad с помощью функции rkfixed приведено на рисунке 1.
Рисунок 1 – Решение системы уравнений
Рисунок 2 – Графики изменения высоты, скорости и массы ракеты, а также расхода топлива за период управления
Таким образом, в результате проведенных исследований методом вариационного исчисления решена задача подъема ракеты на заданную высоту за фиксированное время при минимальном расходе топлива. Задача нахождения оптимальных траекторий переменных и управления была сформулирована как краевая задача с недостающими начальными условиями, поиск которых реализован с помощью разностного метода решения краевой задачи.
1. Мозжорина Т.Ю., Попов А.С. Решение задачи оптимального управления вертикальным подъемом ракеты-зонда с уточнением модели аэродинамического сопротивления // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2021. – № 7. – С. 46-50.
2. Лернер А.Я., Розенман Е.А. Оптимальное управление. - М.: Энергия, 1970, – 360с.
3. Истомин А.Л., Кривов М.В., Истомина А.А. Принцип максимума Понтрягина в задаче управления подъемом метеорологической ракеты // Вестник АнГТУ – 2024. № 18. С. 194-198.
4. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. 4-е издание, - М.: Наука, 1983. – 392с.
5. Бахвалов Н.С. Численные методы. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. – 636с.
6. Бедарев И.А., Кратова Ю.В., Федорова Н.Н., Федорченко И.А. Мето-ды вычислений в пакете Mathcad. – Новосибирск, 2013. – 163с.
7. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. – М., Главная редакция физико-математической литера-туры издательства «Наука». 1975. – 528 с.
