Получен общий вид критериального уравнения для процесса испарения жидкости в условиях принудительной конвекции методом анализа размерностей. Критериальное уравнение включает в себя такие критерии подобия как критерий Рейнольдса и критерий Шмидта
испарение, массоотдача, критериальное уравнение, критерий Шмидта
Процесс охлаждения воды в градирнях атмосферным воздухом сопровождается испарением воды [1]. Испарение приводит к большим потерям оборотной воды и к необходимости восполнения воды в системе. Интенсивность испарения воды в условиях принудительной конвекции может быть описана критериальным уравнением [2]. Целью работы является получение общего вида критериального уравнения для процесса испарения воды в условиях принудительной конвекции на основе метода анализа размерностей [3, 4]. Данное уравнение необходимо для разработки и проектирования устройств, предназначенных для охлаждения и испарения горячей воды.
К параметрам, описывающим процесс испарения в условиях принудительной конвекции, относятся: b – коэффициент массоотдачи в воздухе, кг/(м2·с·(кг/м3)) или м/с; d – геометрический параметр системы, например, высота элемента регулярной насадки, м; r – плотность воздуха, кг/м3; µ – динамический коэффициент вязкости воздуха, Па·с; D – коэффициент диффузии, м2/с; w – скорость воздуха, м/с. Зависимость коэффициента массоотдачи от параметров процесса имеет вид:
. (1)
Процесс испарения жидкости в условиях принудительной конвекции относится к массообменным процессам. При этом первичными (основными) единицами измерения процесса испарения будут следующие: килограммы (единица измерения массы [М]), метры (единица измерения длины [L]), секунды (единица измерения времени [T]).
Запишем единицы измерения всех параметров процесса через первичные (основные) единицы измерения:
, (3)
, (5)
, (6)
. (7)
Внесем сведения о параметрах процесса в таблицу 1. Произвольно примем за основные величины D, µ, d. Число основных величин равно числу первичных (основных) единиц измерения: кг, с, м.
Таблица 1 – Параметры процесса
|
Величина |
Размерность |
Показатели степени |
||
|
[L] |
[M] |
[T] |
||
|
b |
м/с |
1 |
0 |
-1 |
|
d |
м |
1 |
0 |
0 |
|
r |
кг/м3 |
-3 |
1 |
0 |
|
µ |
кг/(м·с) |
-1 |
1 |
-1 |
|
D |
м2/c |
2 |
0 |
-1 |
|
w |
м/c |
1 |
0 |
-1 |
Из уравнений (3, 5, 6) для d, µ, D составим уравнения:
(8)
Прологарифмируем:
(9)
Система уравнений (9) будет иметь единственное решение, если составленный из коэффициентов уравнения определитель матрицы не равен нулю.
Вычислим определитель матрицы, составленной по данным таблицы 1 для основных величин D, µ, d:
. (10)
Таким образом, определитель матрицы отличен от нуля, следовательно, основные величины D, µ, d выбраны верно.
Как видно из (1), число параметров процесса равно n=6. Количество первичных (основных) единиц измерения равно m=3. В соответствии с П-теоремой подобия [2] число критериев подобия, описывающих испарение жидкости, равно n-m=3.
Критерии подобия можно получить делением каждой оставшейся величины (b, ρ, w) на произведение основных величин (D, µ, d), возведенных в степени.
В результате получим:
, (11)
, (12)
. (13)
Представим функцию (1) в виде, отражающем связь между полученными безразмерными критериями:
, (14)
т.е.
.
Так как левая часть уравнения (14) является безразмерной величиной, то справедливым будет выражение:
, (15)
или
. (16)
Тогда:
. (17)
Равенство (17) выполняется, если:
, (18)
откуда:
,
,
.
Получим первый критерий подобия (11):
.
Можно записать критерий П1 также в виде:
.
Критерий П1=Nu – диффузионный критерий Нуссельта.
В выражении (14) безразмерной является также дробь:
, (19)
тогда
, (20)
или
. (21)
. (22)
Выражение (22) справедливо, если:
, (23)
откуда:
,
,
.
Безразмерный критерий подобия (12) будет иметь следующий вид:
.
Данный критерий можно записать также в виде:
.
Критерий П2=Sc – критерий Шмидта.
В уравнении (14) безразмерным будет также выражение:
, (24)
тогда
, (25)
или
. (26)
. (27)
Выражение (27) будет справедливым, если:
, (28)
откуда:
,
,
.
Безразмерный критерий подобия (13) запишется в виде:
.
В идеальном газе коэффициент диффузии D [м2/с] равен коэффициенту кинематической вязкости n [м2/с]. Тогда получим:
.
Критерий П3=Re – критерий Рейнольдса.
Зависимость между безразмерными критериями подобия для процесса испарения в условиях принудительной конвекции:
, (29)
или
, (30)
, (31)
где С, x, z – константы, определяемые экспериментально.
Полученное уравнение (31) согласуется с уравнением, приведенным в работе [2] для процесса испарения. Таким образом, метод анализа размерностей позволяет получить общий вид критериального уравнения для определения интенсивности испарения воды в условиях принудительной конвекции.
1. Ульянов Б. А., Бадеников В. Я., Ликучёв В. Г. Процессы и аппараты химической технологии. – Ангарск: АГТА, 2006. – 744 с.
2. Батунер Л. М., Позин М. Е. Математические методы в химической технике. – Л.: Химия, 1987. – 824 с.
3. Архипов В. А., Коноваленко А. И. Практикум по теории подобия и анализу размерностей. Учебное пособие. – Томск: ТГУ, 2016. ¬ 93 с.
4. Алабужев П. М., Геронимус В. Б., Минкевич Л. М., Шеховцов Б. А. Теории подобия и размерностей. Моделирование. – М.: Высшая школа, 1968. – 208 с.
