The general form of the criterial equation for the process of liquid evaporation under forced convection conditions is obtained by the method of dimensional analysis. The criterial equation includes such similarity criteria as the Reynolds criterion and the Schmidt criterion
evaporation, mass transfer, criterial equation, Schmidt criterion
Процесс охлаждения воды в градирнях атмосферным воздухом сопровождается испарением воды [1]. Испарение приводит к большим потерям оборотной воды и к необходимости восполнения воды в системе. Интенсивность испарения воды в условиях принудительной конвекции может быть описана критериальным уравнением [2]. Целью работы является получение общего вида критериального уравнения для процесса испарения воды в условиях принудительной конвекции на основе метода анализа размерностей [3, 4]. Данное уравнение необходимо для разработки и проектирования устройств, предназначенных для охлаждения и испарения горячей воды.
К параметрам, описывающим процесс испарения в условиях принудительной конвекции, относятся: b – коэффициент массоотдачи в воздухе, кг/(м2·с·(кг/м3)) или м/с; d – геометрический параметр системы, например, высота элемента регулярной насадки, м; r – плотность воздуха, кг/м3; µ – динамический коэффициент вязкости воздуха, Па·с; D – коэффициент диффузии, м2/с; w – скорость воздуха, м/с. Зависимость коэффициента массоотдачи от параметров процесса имеет вид:
. (1)
Процесс испарения жидкости в условиях принудительной конвекции относится к массообменным процессам. При этом первичными (основными) единицами измерения процесса испарения будут следующие: килограммы (единица измерения массы [М]), метры (единица измерения длины [L]), секунды (единица измерения времени [T]).
Запишем единицы измерения всех параметров процесса через первичные (основные) единицы измерения:
, (3)
, (5)
, (6)
. (7)
Внесем сведения о параметрах процесса в таблицу 1. Произвольно примем за основные величины D, µ, d. Число основных величин равно числу первичных (основных) единиц измерения: кг, с, м.
Таблица 1 – Параметры процесса
|
Величина |
Размерность |
Показатели степени |
||
|
[L] |
[M] |
[T] |
||
|
b |
м/с |
1 |
0 |
-1 |
|
d |
м |
1 |
0 |
0 |
|
r |
кг/м3 |
-3 |
1 |
0 |
|
µ |
кг/(м·с) |
-1 |
1 |
-1 |
|
D |
м2/c |
2 |
0 |
-1 |
|
w |
м/c |
1 |
0 |
-1 |
Из уравнений (3, 5, 6) для d, µ, D составим уравнения:
(8)
Прологарифмируем:
(9)
Система уравнений (9) будет иметь единственное решение, если составленный из коэффициентов уравнения определитель матрицы не равен нулю.
Вычислим определитель матрицы, составленной по данным таблицы 1 для основных величин D, µ, d:
. (10)
Таким образом, определитель матрицы отличен от нуля, следовательно, основные величины D, µ, d выбраны верно.
Как видно из (1), число параметров процесса равно n=6. Количество первичных (основных) единиц измерения равно m=3. В соответствии с П-теоремой подобия [2] число критериев подобия, описывающих испарение жидкости, равно n-m=3.
Критерии подобия можно получить делением каждой оставшейся величины (b, ρ, w) на произведение основных величин (D, µ, d), возведенных в степени.
В результате получим:
, (11)
, (12)
. (13)
Представим функцию (1) в виде, отражающем связь между полученными безразмерными критериями:
, (14)
т.е.
.
Так как левая часть уравнения (14) является безразмерной величиной, то справедливым будет выражение:
, (15)
или
. (16)
Тогда:
. (17)
Равенство (17) выполняется, если:
, (18)
откуда:
,
,
.
Получим первый критерий подобия (11):
.
Можно записать критерий П1 также в виде:
.
Критерий П1=Nu – диффузионный критерий Нуссельта.
В выражении (14) безразмерной является также дробь:
, (19)
тогда
, (20)
или
. (21)
. (22)
Выражение (22) справедливо, если:
, (23)
откуда:
,
,
.
Безразмерный критерий подобия (12) будет иметь следующий вид:
.
Данный критерий можно записать также в виде:
.
Критерий П2=Sc – критерий Шмидта.
В уравнении (14) безразмерным будет также выражение:
, (24)
тогда
, (25)
или
. (26)
. (27)
Выражение (27) будет справедливым, если:
, (28)
откуда:
,
,
.
Безразмерный критерий подобия (13) запишется в виде:
.
В идеальном газе коэффициент диффузии D [м2/с] равен коэффициенту кинематической вязкости n [м2/с]. Тогда получим:
.
Критерий П3=Re – критерий Рейнольдса.
Зависимость между безразмерными критериями подобия для процесса испарения в условиях принудительной конвекции:
, (29)
или
, (30)
, (31)
где С, x, z – константы, определяемые экспериментально.
Полученное уравнение (31) согласуется с уравнением, приведенным в работе [2] для процесса испарения. Таким образом, метод анализа размерностей позволяет получить общий вид критериального уравнения для определения интенсивности испарения воды в условиях принудительной конвекции.
1. Ul'yanov B. A., Badenikov V. Ya., Likuchev V. G. Processy i apparaty himicheskoy tehnologii. – Angarsk: AGTA, 2006. – 744 s.
2. Batuner L. M., Pozin M. E. Matematicheskie metody v himicheskoy tehnike. – L.: Himiya, 1987. – 824 s.
3. Arhipov V. A., Konovalenko A. I. Praktikum po teorii podobiya i analizu razmernostey. Uchebnoe posobie. – Tomsk: TGU, 2016. ¬ 93 s.
4. Alabuzhev P. M., Geronimus V. B., Minkevich L. M., Shehovcov B. A. Teorii podobiya i razmernostey. Modelirovanie. – M.: Vysshaya shkola, 1968. – 208 s.
