Ангарский государственный технический университет (Вычислительные машины и комплексы, Профессор)
Россия
Россия
Россия
На основе принципа максимума Понтрягина решена задача подъема ракеты на максимальную высоту. Решение получено в аналитическом виде
оптимальное управление, принцип максимума, управление ракетой
При составлении модели движения ракеты примем допущение о незначительном влиянии аэродинамического сопротивления. Также будем считать значение ускорения свободного падения постоянным, не зависящим от высоты подъема ракеты. Тогда изменения скорости набора высоты, движения и массы простой метеорологической ракеты в виде уравнений Коши можно описать следующим образом
(1)
где – высота подъема ракеты, м;
– скорость движения ракеты, м/с; β – импульс двигателя ракеты, м/с;
– массовый расход топлива, кг/с;
– масса ракеты, кг; g – ускорение свободного падения, м/с2.
Граничные условия для переменных в начальный момент времени:
,
,
, (2)
где - масса ракеты с топливом.
Управлением ракеты является массовый расход топлива . Требуется найти управление
, позволяющее поднять ракету на наибольшую высоту
(3)
при выполнении ограничения
. (4)
С учетом того, что в наивысшей точке подъема скорость ракеты равна нулю, а масса ракеты равна ее массе без топлива, введем граничные условия в момент времени
,
, (5)
где – масса пустой ракеты.
Максимальная высота и время управления
неизвестны и подлежат определению в результате нахождения оптимального управления.
При использовании принципа максимума Понтрягина гамильтониан задачи примет вид
(6)
Рассматривая в гамильтониане только члены, зависящие от искомого управления , получим из выражения (6)
. (7)
Чтобы гамильтониан (6) принимал максимальное значение, необходимо всегда, когда , обеспечить управление
и
в случае, когда
, т.е.
(8)
Для нахождения оптимального управления, в том числе количество переключений управления между и
, необходимо определить выражения для сопряженных функций
и
, при которых система уравнений (1) удовлетворяет граничным условиям (2) и (5).
Сопряженные переменные определяются уравнениями
(9)
Общее решение системы уравнений (9) имеет вид
, (10)
, (11)
(12)
где ,
и
– постоянные интегрирования уравнений (10) – (12).
Для задач со свободным правым концом согласно условиям трансверсальности [1] для сопряженных переменных в конце процесса управления имеем
. (13)
Так как неизвестно и подлежит определению, из условия (13) для сопряженной переменной
определим
. С учетом того, что
, а
, в момент времени
имеем
. Следовательно,
.
Постоянные интегрирования и
, и соответственно, сопряженные функции
и
найдем после определения
– времени подъема ракеты на максимальную высоту. Для этого проинтегрируем уравнения системы (1).
Очевидно, что в начальный момент времени при объект функционирует под воздействием управления
.
Общее решение системы уравнений (1) с управляющим воздействием выглядит следующим образом
, (14)
, (15)
(16)
Постоянные интегрирования в уравнениях (14) – (16) найдем из начальных условий (2).
Так как при
из (14) получим
, а выражение для массы ракеты на начальном участке примет вид
. (17)
Поскольку при
из (15) находим
. Тогда выражение для скорости ракеты на начальном участке примет вид
(18)
Наконец при и с учетом того, что
из (16) получим
.
Тогда выражение для высоты подъема ракеты на начальном участке примет вид
(19)
В момент времени ракета движется без топлива, т.е. при
, а общее решение системы уравнений (1) имеет вид
, (20)
, (21)
. (22)
Постоянные интегрирования и
в уравнениях (20) и (21) найдем из конечных условий (5).
Так как при
из (20) получим
и выражение для массы ракеты в конце управления
. (23)
Поскольку при
из (21) получим
. Отсюда выражение для скорости ракеты в конце управления примет вид
. (24)
Время управления и время смены управляющего воздействия
находятся из условия неразрывности решения в момент времени
(25)
Подставляя найденные и
в уравнения (19) и (22), получим оптимальную траекторию высоты подъема
(26)
В соответствии с принципом максимума в начальный и конечный моменты времени гамильтониан должен быть равен нулю, т.е.
(27)
Подставим в уравнения системы (26) полученные выражения для переменных и сопряженных функций в начальный и конечный моменты времени.
Так первое уравнение в системе (26) после подстановки выражений (11) и (12), и принимая во внимание, что и
, получим
. (28)
Второе уравнение в системе (27) после подстановки (11) и (12) и учитывая, что и
, примет вид
. (29)
Из уравнений (28) и (29) однозначным образом находим постоянные интегрирования и
:
, (30)
(31)
и выражения для сопряженных функций:
, (32)
. (32)
Пример. Найти такую функцию расхода топлива, при которой метеорологическая ракета МР-20 поднимется на максимальную высоту. В табл. 1 приведены конструктивные параметры ракеты МР-20 [2].
Граничные условия для переменных в начальный и конечный
моменты времени:
м,
м/с,
кг,
м/с,
кг.
В начальный момент времени при под воздействием управления
в соответствии с (17), (18) масса и скорость ракеты описывается уравнениями
,
а в конечный момент времени при , при
решение в соответствии с (23) и (24) имеет вид
,
.
Система (25) для данных рассматриваемого примера имеет вид
из которой однозначно определены время смены управляющего воздействия и общее время управления
, которые составили
и
секунд. Максимальная высота подъема ракеты составила 346 020 м. Максимальная высота подъема достигается при предельно максимальном расходе топлива. Максимальная скорость подъема - 2475 м/с.
Результаты решения задачи подъема ракеты на максимальную высоту приведены на рис. 1 и 2.
Таблица 1 Параметры ракеты МР-20
|
Наименование |
Обозначение |
Единицы измерения |
|
Импульс двигателя |
|
м/c |
|
Масса пустой ракеты |
|
кг |
|
Масса ракеты с топливом |
|
кг |
|
Предельные границы расхода топлива |
|
кг/c |
Рисунок 1 - Графики изменения скорости и массы ракеты, расхода топлива
за период управления
Рисунок 2 - График изменения высоты подъема ракеты за период управления
1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. 4-е издание, - М.: Наука, 1983. – 392 с.
2. Мозжорина Т.Ю., Попов А.С. Решение задачи оптимального управления вертикальным подъемом ракеты-зонда с уточнением модели аэродинамического сопротивления // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2021. – № 7. – С. 46-50.
3. Лернер А.Я., Розенман Е.А. Оптимальное управление. - М.: Энергия, 1970, – 360 с.
