Angarskiy gosudarstvennyy tehnicheskiy universitet (Vychislitel'nye mashiny i kompleksy, Professor)
Russian Federation
Russian Federation
Russian Federation
Based on the Pontryagin maximum principle, the problem of lifting the rocket to the maximum height has been solved. The solution is obtained in an analytical form
optimal control, maximum principle, rocket control
При составлении модели движения ракеты примем допущение о незначительном влиянии аэродинамического сопротивления. Также будем считать значение ускорения свободного падения постоянным, не зависящим от высоты подъема ракеты. Тогда изменения скорости набора высоты, движения и массы простой метеорологической ракеты в виде уравнений Коши можно описать следующим образом
(1)
где – высота подъема ракеты, м;
– скорость движения ракеты, м/с; β – импульс двигателя ракеты, м/с;
– массовый расход топлива, кг/с;
– масса ракеты, кг; g – ускорение свободного падения, м/с2.
Граничные условия для переменных в начальный момент времени:
,
,
, (2)
где - масса ракеты с топливом.
Управлением ракеты является массовый расход топлива . Требуется найти управление
, позволяющее поднять ракету на наибольшую высоту
(3)
при выполнении ограничения
. (4)
С учетом того, что в наивысшей точке подъема скорость ракеты равна нулю, а масса ракеты равна ее массе без топлива, введем граничные условия в момент времени
,
, (5)
где – масса пустой ракеты.
Максимальная высота и время управления
неизвестны и подлежат определению в результате нахождения оптимального управления.
При использовании принципа максимума Понтрягина гамильтониан задачи примет вид
(6)
Рассматривая в гамильтониане только члены, зависящие от искомого управления , получим из выражения (6)
. (7)
Чтобы гамильтониан (6) принимал максимальное значение, необходимо всегда, когда , обеспечить управление
и
в случае, когда
, т.е.
(8)
Для нахождения оптимального управления, в том числе количество переключений управления между и
, необходимо определить выражения для сопряженных функций
и
, при которых система уравнений (1) удовлетворяет граничным условиям (2) и (5).
Сопряженные переменные определяются уравнениями
(9)
Общее решение системы уравнений (9) имеет вид
, (10)
, (11)
(12)
где ,
и
– постоянные интегрирования уравнений (10) – (12).
Для задач со свободным правым концом согласно условиям трансверсальности [1] для сопряженных переменных в конце процесса управления имеем
. (13)
Так как неизвестно и подлежит определению, из условия (13) для сопряженной переменной
определим
. С учетом того, что
, а
, в момент времени
имеем
. Следовательно,
.
Постоянные интегрирования и
, и соответственно, сопряженные функции
и
найдем после определения
– времени подъема ракеты на максимальную высоту. Для этого проинтегрируем уравнения системы (1).
Очевидно, что в начальный момент времени при объект функционирует под воздействием управления
.
Общее решение системы уравнений (1) с управляющим воздействием выглядит следующим образом
, (14)
, (15)
(16)
Постоянные интегрирования в уравнениях (14) – (16) найдем из начальных условий (2).
Так как при
из (14) получим
, а выражение для массы ракеты на начальном участке примет вид
. (17)
Поскольку при
из (15) находим
. Тогда выражение для скорости ракеты на начальном участке примет вид
(18)
Наконец при и с учетом того, что
из (16) получим
.
Тогда выражение для высоты подъема ракеты на начальном участке примет вид
(19)
В момент времени ракета движется без топлива, т.е. при
, а общее решение системы уравнений (1) имеет вид
, (20)
, (21)
. (22)
Постоянные интегрирования и
в уравнениях (20) и (21) найдем из конечных условий (5).
Так как при
из (20) получим
и выражение для массы ракеты в конце управления
. (23)
Поскольку при
из (21) получим
. Отсюда выражение для скорости ракеты в конце управления примет вид
. (24)
Время управления и время смены управляющего воздействия
находятся из условия неразрывности решения в момент времени
(25)
Подставляя найденные и
в уравнения (19) и (22), получим оптимальную траекторию высоты подъема
(26)
В соответствии с принципом максимума в начальный и конечный моменты времени гамильтониан должен быть равен нулю, т.е.
(27)
Подставим в уравнения системы (26) полученные выражения для переменных и сопряженных функций в начальный и конечный моменты времени.
Так первое уравнение в системе (26) после подстановки выражений (11) и (12), и принимая во внимание, что и
, получим
. (28)
Второе уравнение в системе (27) после подстановки (11) и (12) и учитывая, что и
, примет вид
. (29)
Из уравнений (28) и (29) однозначным образом находим постоянные интегрирования и
:
, (30)
(31)
и выражения для сопряженных функций:
, (32)
. (32)
Пример. Найти такую функцию расхода топлива, при которой метеорологическая ракета МР-20 поднимется на максимальную высоту. В табл. 1 приведены конструктивные параметры ракеты МР-20 [2].
Граничные условия для переменных в начальный и конечный
моменты времени:
м,
м/с,
кг,
м/с,
кг.
В начальный момент времени при под воздействием управления
в соответствии с (17), (18) масса и скорость ракеты описывается уравнениями
,
а в конечный момент времени при , при
решение в соответствии с (23) и (24) имеет вид
,
.
Система (25) для данных рассматриваемого примера имеет вид
из которой однозначно определены время смены управляющего воздействия и общее время управления
, которые составили
и
секунд. Максимальная высота подъема ракеты составила 346 020 м. Максимальная высота подъема достигается при предельно максимальном расходе топлива. Максимальная скорость подъема - 2475 м/с.
Результаты решения задачи подъема ракеты на максимальную высоту приведены на рис. 1 и 2.
Таблица 1 Параметры ракеты МР-20
|
Наименование |
Обозначение |
Единицы измерения |
|
Импульс двигателя |
|
м/c |
|
Масса пустой ракеты |
|
кг |
|
Масса ракеты с топливом |
|
кг |
|
Предельные границы расхода топлива |
|
кг/c |
Рисунок 1 - Графики изменения скорости и массы ракеты, расхода топлива
за период управления
Рисунок 2 - График изменения высоты подъема ракеты за период управления
1. Pontryagin L.S., Boltyanskiy V.G., Gamkrelidze R.V., Mischenko E.F. Matematicheskaya teoriya optimal'nyh processov. 4-e izdanie, - M.: Nauka, 1983. – 392 s.
2. Mozzhorina T.Yu., Popov A.S. Reshenie zadachi optimal'nogo upravleniya vertikal'nym pod'emom rakety-zonda s utochneniem modeli aerodinamicheskogo soprotivleniya // Mezhdunarodnyy zhurnal prikladnyh i fundamental'nyh issledovaniy. – 2021. – № 7. – S. 46-50.
3. Lerner A.Ya., Rozenman E.A. Optimal'noe upravlenie. - M.: Energiya, 1970, – 360 s.
