Angarskiy gosudarstvennyy tehnicheskiy universitet (Vychislitel'nye mashiny i kompleksy, Professor)
Russian Federation
The problem of optimal control of an object with two state variables and one control, described by a system of linear differential equations, is posed
linear optimal control problem, variational calculus
Существует большое количество управляемых объектов, поведение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями относительно переменных состояния объекта. В данной работе исследуется задача оптимального управления объектом с двумя переменными состояния и одним управлением, описываемым следующей системой линейных дифференциальных уравнений:
где 
и 
– переменные состояния объекта управления; 
– управляющее воздействие; 
, 
, 
, 
, 
и 
– некоторые постоянные коэффициенты.
В векторной форме система уравнений (1) записывается как
где матрица 
и вектор 
имеют следующий вид
В начальный момент времени объект находится в точке 
и 
.
Поставим задачу оптимального управления объектом, которая заключается в отыскании такого управления 
, при котором объект переходит за время 
из начального состояния и в заданное конечное состояние 
и 
за минимальный расход энергии управляющего воздействия
Будем полагать, что на управление 
не накладывается никаких ограничений. Тогда рассматриваемая задача оптимального управления может быть решена классическим вариационным исчислением.
Гамильтониан задачи в векторной форме примет вид
Система уравнений для сопряженных переменных в векторной форме принимает вид
где
– матрица, полученная из матрицы 
с помощью операции транспонирования.
Тогда расширенная модель задачи с сопряженными переменными имеет вид
Система (7) дополняется условием стационарности 
, что
приводит к замкнутой системе, позволяющей полностью определить оптимальное управление в виде функции 
Для линейной задачи оптимального управления существует точное решение. Однако для практической реализации удобно численное решение этой задачи. Идея численного решения сводится к решению двухточечной краевой задачи с известными граничными условиями для переменных состояния на правом и левом конце задачи. Недостающие начальные условия для сопряженных переменных ищутся методом «пристрелки», пока не будут выполнены фиксированные граничные условия 
и 
.
1. Boltyanskiy V.G. Matematicheskie metody optimal'nogo upravleniya (Seriya «Fiziko-matematicheskaya biblioteka inzhenera»). – M., 1968. – 409 s.
