Angarskiy gosudarstvennyy tehnicheskiy universitet (Vychislitel'nye mashiny i kompleksy, Professor)
Russian Federation
This article describes a developed software application for numerically solving the optimal control problem of a linear object with two state variables and one control. The program implements the solution of a classical variational calculus and the shooting method for solving a two-point boundary value problem
linear optimal control problem, variational calculus, shooting method, numerical methods, boundary value problem
Рассматривается задача оптимального управления линейным объектом, описываемым системой дифференциальных уравнений с двумя переменными состояния и одним управлением. Для практической реализации решения данной задачи было разработано специализированное программное приложение, которое позволяет численно находить оптимальное управление и траектории движения объекта.
Программа реализует принцип максимума Понтрягина, который является фундаментальным методом в теории оптимального управления. Согласно этому принципу, для нахождения оптимального управления необходимо сформировать функцию Гамильтона. Из условия стационарности функции Гамильтона по управлению определяется оптимальное управление. Это условие выражается как 
, что приводит к выражению для оптимального управления через сопряженные переменные. Для рассматриваемой задачи оптимальное управление принимает вид 
, где 
, 
– коэффициенты управления в уравнениях объекта.
После определения оптимального управления задача сводится к решению двухточечной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений, включающей как уравнения объекта, так и уравнения для сопряженных переменных. Эта система имеет вид расширенной системы, включающей четыре уравнения: два для переменных состояния объекта и два для сопряженных переменных.
Для решения краевой задачи в программе реализован метод стрельбы. Этот метод предполагает задание начального приближения для сопряженных переменных, решение задачи Коши для всей расширенной системы и проверку выполнения конечных условий для переменных состояния объекта. Если конечные условия не выполняются, то начальные условия для сопряженных переменных корректируются, и процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность попадания в конечную точку.
На графиках, построенных программой, визуализируются траектории изменения переменных состояния объекта во времени, график оптимального управления, а также фазовый портрет системы. Фазовый портрет показывает зависимость одной переменной состояния от другой, что позволяет наглядно представить движение объекта в фазовом пространстве.
Разработанное программное приложение позволяет автоматизировать процесс решения задачи оптимального управления. Пользователю достаточно ввести параметры системы и условия, после чего программа автоматически формирует функцию Гамильтона, находит оптимальное управление, решает краевую задачу методом стрельбы и строит графики результатов. Это значительно упрощает процесс анализа и исследования систем управления.
Программа может быть полезна в инженерной практике для анализа систем управления и оценки их возможностей. Основным преимуществом разработанной программы является ее универсальность. Она работает с любой линейной системой, описываемой уравнениями заданного вида. Программа использует современные численные методы, что обеспечивает высокую точность расчетов.
В дальнейшем планируется расширение функциональности программы для работы с нелинейными системами управления, а также добавление возможности учета ограничений на управление и переменные состояния.
Разработка программного приложения для решения задачи оптимального управления линейным объектом представляет собой важный шаг в автоматизации процессов анализа и проектирования систем управления. Программа не только решает конкретную задачу, но и демонстрирует эффективность применения современных численных методов и принципов оптимального управления в практических приложениях.
1. Boltyanskiy V.G. Matematicheskie metody optimal'nogo upravleniya (Seriya «Fiziko-matematicheskaya biblioteka inzhenera»). – M., 1968. – 409 s.
