Ангарский государственный технический университет (Вычислительные машины и комплексы, Профессор)
Россия
В данной статье описывается разработанное программное приложение для численного решения задачи оптимального управления линейным объектом с двумя переменными состояния и одним управлением. Программа реализует нахождение решения классическим вариационным исчислением и методом стрельбы для решения двухточечной краевой задачи
линейная задача оптимального управления, вариационное исчисление, метод стрельбы, численные методы, краевая задача
Рассматривается задача оптимального управления линейным объектом, описываемым системой дифференциальных уравнений с двумя переменными состояния и одним управлением. Для практической реализации решения данной задачи было разработано специализированное программное приложение, которое позволяет численно находить оптимальное управление и траектории движения объекта.
Программа реализует принцип максимума Понтрягина, который является фундаментальным методом в теории оптимального управления. Согласно этому принципу, для нахождения оптимального управления необходимо сформировать функцию Гамильтона. Из условия стационарности функции Гамильтона по управлению определяется оптимальное управление. Это условие выражается как 
, что приводит к выражению для оптимального управления через сопряженные переменные. Для рассматриваемой задачи оптимальное управление принимает вид 
, где 
, 
– коэффициенты управления в уравнениях объекта.
После определения оптимального управления задача сводится к решению двухточечной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений, включающей как уравнения объекта, так и уравнения для сопряженных переменных. Эта система имеет вид расширенной системы, включающей четыре уравнения: два для переменных состояния объекта и два для сопряженных переменных.
Для решения краевой задачи в программе реализован метод стрельбы. Этот метод предполагает задание начального приближения для сопряженных переменных, решение задачи Коши для всей расширенной системы и проверку выполнения конечных условий для переменных состояния объекта. Если конечные условия не выполняются, то начальные условия для сопряженных переменных корректируются, и процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность попадания в конечную точку.
На графиках, построенных программой, визуализируются траектории изменения переменных состояния объекта во времени, график оптимального управления, а также фазовый портрет системы. Фазовый портрет показывает зависимость одной переменной состояния от другой, что позволяет наглядно представить движение объекта в фазовом пространстве.
Разработанное программное приложение позволяет автоматизировать процесс решения задачи оптимального управления. Пользователю достаточно ввести параметры системы и условия, после чего программа автоматически формирует функцию Гамильтона, находит оптимальное управление, решает краевую задачу методом стрельбы и строит графики результатов. Это значительно упрощает процесс анализа и исследования систем управления.
Программа может быть полезна в инженерной практике для анализа систем управления и оценки их возможностей. Основным преимуществом разработанной программы является ее универсальность. Она работает с любой линейной системой, описываемой уравнениями заданного вида. Программа использует современные численные методы, что обеспечивает высокую точность расчетов.
В дальнейшем планируется расширение функциональности программы для работы с нелинейными системами управления, а также добавление возможности учета ограничений на управление и переменные состояния.
Разработка программного приложения для решения задачи оптимального управления линейным объектом представляет собой важный шаг в автоматизации процессов анализа и проектирования систем управления. Программа не только решает конкретную задачу, но и демонстрирует эффективность применения современных численных методов и принципов оптимального управления в практических приложениях.
1. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления (Серия «Физико-математическая библиотека инженера»). – М., 1968. – 409 с.
