Russian Federation
Angarskiy gosudarstvennyy tehnicheskiy universitet (Vychislitel'nye mashiny i kompleksy, Professor)
Russian Federation
The statement of the optimal control problem for the polymerization process at the first stage of polystyrene production is presented
styrene polymerization, optimal control, Hamiltonian, adjoint functions
Процесс полимеризации стирола от начала и до конца проводится в аппаратах - полимеризаторах. Они представляют собой стальные цилиндрические сосуды с эллиптическими приварным днищем и съёмной крышкой объёмом 10 м3, снабженные рубашкой для циркуляции пароводяной смеси и трехъярусной, двухлопастной мешалкой с возможностью плавного изменения числа оборотов от 0 до 60 об/мин.
Динамика процессов, протекающих на первой стадии полимеризации, описывается следующей системой уравнений:
|
|
(1) |
где 
- объемный расход пара; 
- энтальпия пара; 
и 
- коэффициенты теплоотдачи от конденсата к стенке и от стенки к реакционной смеси; 
- поверхность теплообмена; 
, 
и 
- объемы паровой рубашки, стенки и сырья в реакторе, соответственно; 
, 
, 
, и 
- плотности конденсата, стенки, пара и сырья в реакторе, соответственно; 
, 
и 
- удельные теплоемкости конденсата, стенки и сырья, соответственно, кДж/(кг·0С). Переменные состояния: 
– концентрация инициатора; 
– концентрация мономера; 
– температура в реакторе; 
– температура стенки реактора; 
– температура конденсата.
Управляющим воздействием является расход греющего пара 
, подаваемого в рубашку.
Формулировка задачи. Найти управление 
, переводящее систему за заданное время 
из состояния 
в состояние, удовлетворяющее условию 
), такое, чтобы функционал 
принимал наименьшее возможное значение.
Для решения данной задачи зададим Гамильтониан H [1]. Введём вектор сопряжённых переменных 
.
Функция Гамильтона:
, (2)
где 
– вектор переменных состояния.
Сопряжённая система уравнений в общем виде: 
.
Условие стационарности по управлению. Так как управление не ограничено, то оптимальное управление находится из условия 
:
(3)
Условие трансверсальности (на правом конце t=tзад). Поскольку 
зафиксировано, а 
свободны, то сопряжённые переменные в конечный момент удовлетворяют условиям:
.
1. Boltyanskiy, V.G. Matematicheskie metody optimal'nogo upravleniya / V.G. Boltyanskiy. – M.: Nauka, glavnaya redakciya fiziko-matematicheskoy literatury, 1969. – 408 s.: il. – Tekst: neposredstvennyy.
