В работе рассматривается применение методов дифференциального исчисления при решении оптимизационных задач
оптимизационные задачи, производная функции, математическая модель
Производная функции, характеризующая скорость изменения функции в данной точке, является одними из основных фундаментальных понятий математики. Понятие производной возникло в XVII веке при решении задач, связанных с определением скорости неравномерного движения и построением касательной к плоской кривой. Решением этих вопросов занимались великие ученые Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат нахождения производной, которым мы и пользуемся в настоящее время.
В наши дни понятие производной не потеряло своей актуальности. С помощью дифференциального исчисления находят решение большинства задач в науке, технике, экономике и т.д. Зачастую решение практических задач связано не только с изучением самого процесса и скорости его изменения, но и с отысканием оптимальных значений функции, описывающей данный процесс на некотором промежутке. В подобных задачах необходимо, не выходя за рамки данных в условии задачи, минимизировать (или максимизировать) исходную функцию. Нередко ответ на поставленный вопрос может быть найден с использованием методов дифференциального исчисления [1].
Алгоритм решения задач с отысканием оптимальных значений состоит их трех этапов:
1. формирование математической модели изучаемого объекта;
2. работа с моделью (осуществляется выбор или разработка методов решения (исследования));
3. проведение расчетов, обработка и анализ полученных результатов [1].
В самых простых задачах оптимизации исследуемая величина зависит от одной переменной. Поэтому второй этап алгоритма основывается на теореме Вейерштрасса, доказываемой в курсах математического анализа. Для проведения расчетов используют практическое правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
, где она непрерывна: 1) найти критические точки, лежащие внутри отрезка
и вычислить значение функции в этих точках; 2) вычислить значение функции на концах отрезка; 3) сравнить полученные значения [2].
Обработка и анализ полученных результатов проводится в соответствии с условием задачи.
В качестве одного из примеров оптимизационных задач предлагается рассмотреть задачу на нахождение сечения балки, вытесанной из цилиндрического бревна, радиуса , чтобы её прочность была наибольшей. Прочность балки прямоугольного сечения пропорциональна произведению ее ширины на квадрат высоты.
Оптимизируемая величина – прочность балки, которая зависит от ширины
и высоты
прямоугольника, где
(так как осевое сечение представляет прямоугольник). Высота прямоугольника связана с шириной соотношением
. Прочность балки
пропорциональна произведению
, т.е.
(где
). Следовательно, математическая модель задачи будет иметь вид
, (1)
где .
Опираясь на теорему Вейерштрасса и используя практическое правило нахождения наибольшего значения функции на отрезке, получаем при значение
принимает наибольшее значение, т.е.
. Далее находим высоту
.Таким образом, сечением балки должен служить прямоугольник, у которого отношение высоты к ширине равно
.
Квалифицированные мастера приходят к такому же результату, опираясь на свой опыт и принимая указанное отношение равным 1,4 ( ).
1. Кремер, Н.Ш. Исследование операций в экономике: Учеб.пособие для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. - М.: Банки ибир-жи, ЮНТИТИ, 1997. - 407 с.- Библиогр.: с. 5-17. - 15000 экз. - ISBN5-85173-092-7. - Текст: непосредственный.
2. Запорожец, Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу / Г.И. Запорожец. - М.: Издательство «Высшая школа», 1964. - 480 с.- Библиогр.: с. 60-135. - 200000 экз.
