Исследована асимптотическая устойчивость стационарного движения уравнений Навье-Стокса
уравнения Навье-Стокса, стационарное движение, асимптотическая устойчивость
Уравнения Навье – Стокса представляют систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и описывают движение жидких и газообразных сред при наличии вязкости. Эти уравнения имеют большое практическое значение в различных областях: метеорология, океанология, гидрология, кораблестроение, аэронавтика.
Рассмотрим трехмерное движение вязкой несжимаемой жидкости, которое описывается системой уравнений Навье-Стокса [1]:
|
|
(1) |
|
|
(2) |
|
|
(3) |
|
и условие неразрывности: |
|
|
|
(4) |
В уравнениях (1) – (4) 
– проекция скорости на ось 
, 
– проекция скорости на ось 
,
– проекция скорости на ось 
, 
– давление.
Стационарное движение
|
|
(5) |
является частным решением системы уравнений (1)-(4).
Рассмотрим отклонения от стационарного движения
|
|
(6) |
Подставим формулы (6) в уравнения (1)-(4). После преобразований получим систему в отклонениях:
Введем в рассмотрение функционал Ляпунова [2]
|
|
(11) |
где 
. Под записью (11) будем понимать интеграл, распространенный на весь объем. Функционал (11) определенно положителен и непрерывен по мере
|
|
(12) |
Производная функционала в силу уравнений (7)-(9) определенно отрицательна. На основании теоремы [1] можно сделать вывод, что стационарное движение (5) асимптотически устойчиво по мере (12).
1. Колесниченко В.И. Введение в механику несжимаемой жидкости : учеб. пособие / В.И. Колесниченко, А.Н. Шарифулин. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2019. – 127 с.
2. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными пара-метрами. / Т. К. Сиразетдинов. – Новосибирск: Наука. – 1987.
